2024年中考数学专项复习题——二次函数中的相似三角形问题

2024年中考数学专项复习题—— 二次函数中的相似三角形问题 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长； (3)已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线． (1)如图1，抛物线与直线交于A、B两点（点A在点B左侧）． ①求A、B的坐标； ②点E在直线上，且在第四象限，过E点作ED⊥x轴交抛物线于D点，交AB于C点，连接BD，过E点作交AB于F，求CF的长． (2) 如图2，直线交抛物线于P、F两点，轴，连接PE，求证：直线PE过定点． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴的负半轴交于点C，点C的坐标为（0，-3），点A的坐标为（-1，0），顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标： (2)点P是抛物线上点A与点C之间的部分（包含点A与点C），过点P作PE垂直AD交抛物线对称轴于点E，求点E纵坐标的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x－2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． (1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式； (2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN⊥x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． (3) 若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 6．抛物线过点，点，顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，点P在抛物线上，连接并延长交x轴于点D，连接，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段上（与点A，C不重合）的动点，连接，作，边交x轴于点F： ①求证： ②的长度是否有最大值？如果有，求出该最大值；如果没有，请说明理由． 7．如图，已知抛物线与轴交于点C，且经过点A(-1，0)，B(4，0)，点D与点C关于轴对称，点F是轴上一定点，点P(，0)是轴上的一个动点，过点P作轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M． (1)求抛物线的表达式； (2)若四边形DMQF是平行四边形，试求此时m的值； (3)点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为，顶点为B．点在抛物线上，直线BC交x轴于点E． (1)求抛物线的表达式及点E的坐标； (2)连接AB，求∠B的余切值； (3)点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标． 9．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点 (1)求抛物线解析式及A点坐标； (2)将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点在内，求m的取值范围； (3)点P为抛物线上一个动点，若，直接写出点P的坐标． 10．如图，以点D为顶点的抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，直线的解析式为 (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标 (2)求四边形的面积 (3)在轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 11．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求点A，点C的坐标； (2)如图2，连结AC，DC，过点C作交抛物线于点E．求证：∠DCE＝∠CAO； (3)如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，使以点D，E，P为顶点的三角形与△ABC相似，求EP的长． 12．如图，抛物线经过点，与y轴正半轴交于点C，且，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)直线交线段于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与相似，求k的值； (3)连接，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，