精品解析：四川省泸州市泸县第一中学2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题

泸县一中2023年秋期高二期末考试 数学试题 本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 第I卷 选择题（60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与互相垂直，则a等于（ ） A 3 B. 1 C. 0或 D. 1或 3. 离心率为2的双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是四面体，是的重心，是上一点，且，则（ ） A B. C. D. 5. “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩．若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点，若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 有一个正四面体玩具，四个面上分别写有数字1，2，3，4．其玩法是将这个正四面体抛掷一次，记录向下的面上的数字．现将这个玩具随机抛掷两次，表示事件“第一次记录的数字为2”，表示事件“第二次记录的数字为4”，表示事件“两次记录的数字和为3”，表示事件“两次记录的数字和为5”，则（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 10. 已知，，点，分别在，上，则（ ） A. 若的半径为1，则 B. 若，则与相交弦所在的直线为 C. 直线截所得最短弦长为 D. 若的最小值为，则的最大值为 11. 如图，在直三棱柱中，，，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点，，，均在半径为的球面上 12. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 过点A与抛物线有一个公共点的直线有3条 C. 的最小值为 D. 点到直线的最短距离为 第II卷 非选择题（90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 两条直线和的距离为________. 14. 已知圆，若直线被圆截得弦长为1，则_______. 15. 已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数___________. 16. 双曲线的右焦点为，双曲线C的一条渐近线与以为直径的圆交于点（异于点O），与过F且垂直于轴的直线交于，若，则双曲线C的离心率为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知圆圆心在直线上，且圆经过点与点. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线所在的直线的方程. 18. 疫情期间，有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表： 所用时间 10 11 12 13 通过公路1的频数 20 40 20 20 通过公路2的频数 10 40 40 10 （1）为进行某项研究，从所用时间为12的60辆汽车中随机抽取6辆，若用分层随机抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆： （2）若从（1)的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取2辆汽车，求这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率； （3）假设汽车A只能在约定时间的前11h出发，汽车B只能在约定时间的前12h出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物从城市甲运到城市乙，汽车A和汽车B应如何选择各自的道路？ 19. 如图，在三棱锥中，，平面平面，． （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成角的余弦值． 20. 已知椭圆:,直线:过的右焦点.当时,椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍. (Ⅰ)求椭圆的方程. (Ⅱ)设直线与椭圆交于,两点,在轴