重难点5 数列中奇偶项、分段问题（4类题型3类考向+高考解读+分类剖析+跟踪训练）-2024年高考数学重难点突破

2024 XINSIWEISHUXUEJINGPINCHAOSHI 高考数学重难点 新 思 维 数 学 XINSIWEI 重难点5 数列中奇偶项、分段问题 统计近几年高考试题，明确命题规律 多角度切入，多方向解析，总结解题思维策略 以高考真题为载体，科学备考不走弯路 针对高考中的高频难点，精心设计，助你冲击数学巅峰 重难点5 数列中奇偶项、分段问题 因为数列是一种特殊的函数，所以数列与分段函数的结合就成为一种必然，高考题中关于数列奇偶项、分段通项问题频频出现，特别是新高考地区，更是成为一个热点问题，并受到各地模拟试题的追捧，下面是对其在高考题中的统计。 年份 试卷类型 考题 考察内容 题型 2023 新课标Ⅱ卷 18 求通项、求和 解答题 2021 新高考Ⅰ卷 17 求和 解答题 全国乙卷理科 19 求通项 解答题 2020 新课标Ⅰ卷 16 求数列的项 填空题 天津卷 19 求和 解答题 2015 天津卷 18 求和 解答题 2014 新课标Ⅰ卷 17 求和 解答题 山东卷 19 求和 解答题 数列中的此类问题主要有四种形式：一是递推式是分段函数的形式；二是递推式中含有的形式；三是递推式是“跳跃式”，即型；四是递推（通项）式含有三角函数。考查方向主要有求和、求项和最值问题三种，解决此类问题的关键在于分类讨论，根据的不同取值确定通项公式的形式，然后再确定解题的方向搞。 题型一：数列的递推式为分段型 例1(2023年新课标全国Ⅱ卷·第18题) 已知为等差数列，，记，分别为数列，前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 例2．（2021·新高考1卷T17）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 例3．（广东省惠州市惠东县2024届高三上学期第二次教学质量检测数学试题）已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【对点练1】（2024年重庆第一中学月考试题）已知数列满足， (1)记，求证：为等比数列； (2)若，求. 【对点练2】（2024年广东省广州实验中学校考）已知数列满足，且的前100项和 (1)求的首项； (2)记，数列的前项和为，求证：. 【对点练3】（湖南省邵阳市双清区昭陵实验学校等多校联考2024届高三上学期11月月考数学试题）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型二 递推（通项）公式中含有型 例4．(2020·高考数学课标Ⅰ卷)数列满足，前16项和为540， 则 ______________． 例5．(2014高考数学山东理科·第19题) 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列． (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)令，求数列的前项和． 【对点练1】（2024·全国专题训练）已知数列和满足，，. (1)求与； (2)设的前n项和为，若不等式，对一切都成立，求实数的最小值. 【对点练2】（2024·山东部分重点中学联考）已知数列的前项和为，数列满足， (1)求数列与的通项公式； (2)若，对恒成立，求实数的取值范围. 题型三 递推式为隔项的关系 例6．（2024年全国高考名校名师联席命制型数学信息卷（七））设数列的前n项和为，且．若对恒成立，则的取值范围为 ． 【对点练】已知数列满足：，当时，， （1）求，数列的通项公式； （2）记，求证． 题型四 含三角函数型 例7．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前100项的和. 【对点练1】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前99项和为，求. 1．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2．（多选）（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）在数列中，，前n项的和为Sn，则（       ） A．的最大值为1 B．数列是等差数列 C．数列是等差数列 D． 3．（多选）（2024甘肃省临洮中学上学期第三次质量检测）已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（    ） A． B．数列是以2为公比的等比数列 C．对任意的， D．的最小正整数n的值为15 4．（上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二上学期阶段性学业水平检测2（暨拓展考试6）数学试题）数列满足，则数列的第2023项为 . 5.已知数列满足，，，