2.2.1 导数的概念课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.2.1 导数的概念 新授课 1.了解导数的概念及其符号表达； 2.理解导数在实际问题中的意义． 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 复习导入 1.平均变化率 通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量，记作△x,函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作△y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 用它来刻画函数值在区间[x1, x2]上变化的快慢. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2.瞬时变化率 对于一般的函数y=f(x)，在自变量x从x0变为x1时，若设△x=x1-x0，△y=f(x1)-f(x0), 则该函数的平均变化率为 如果当△x趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢. 新课讲授 学习目标 课堂总结 设函数y=f(x)，当自变量x从x0变为x1时，函数值y从f（x0）变到f（x1），函数值y关于x的平均变化率为 知识点1：导数的概念 当x1趋于x0，即△x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数,通常用符号f＇(x0)表示,记作 这个值称为：当x1趋于x0时，平均变化率的极限. 新课讲授 学习目标 课堂总结 当x趋于2,即△x趋于0时，平均变化率总是3,所以f'(2)=3 m3/s. 例1：一条水管中流过的水量y（单位:m3）与时间x（单位:s）的函数关系为y= f(x)=3x.求函数y= f(x)在x=2处的导数f＇(2)，并解释它的实际意义. 解：当x从2变到2+△x时，函数值从3×2变到3（2+△x），函数值y关于x的平均变化率为 导数f'(2)表示当x=2 s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度.也就是说,如果水管中的水保持以x=2 s时的瞬时速度流动的话,每经过1 s,水管中流过的水量为3 m3. 新课讲授 学习目标 课堂总结 利用定义求导数的步骤： （1）求函数的增量：Δy=f(x0+Δx)-f(x0). 归纳总结 （3）取极限得导数： （2）求平均变化率： 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 函数 y=f（x)=5x+1在点x=3处的导数f＇(3)=（ ） A. 2 B.3 C.4 D.5 D 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：f'(1)=4表示该工人上班后工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4 kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产4 kg的食品. 例2：一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y(单位:kg)与其工作时间x(单位:h)的函数关系为y=f(x).假设函数y=f(x)在x=l和x=3处的导数分别为f'(1)=4和f'(3) =3.5,试解释它们的实际意义. f'(3) =3.5表示该工人上班后工作3 h的时候，其生产速度为3.5 kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产3. 5 kg的食品. 新课讲授 学习目标 课堂总结 c'(100)= -0. 6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为 0. 6 μg/(mL ·min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降 0. 6 μg/mL. 例3：服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位:μg/mL)是时间t(单位:min)的函数 c=c(t).假设函数 c=c(t)在t=10和t=100处的导数分别为c'(10) = l.5和c'(100) = -0.6,试解释它们的实际意义. 解：c'(10) = l.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升 1. 5 μg/mL. 新课讲授 学习目标 课堂总结 设x（单位：km）表示从一条河流的某一处到其源头的距离，y（单位：km）表示这一点的海拔高度，y与x的函数关系式为y=f(x).若函数y=f(x)在x=100处的导数 f'(100) =-0.1，试解释它的实际意义. 练一练 解：f'(100) =-0.1表示河流从源头流到100km时，海拔高度瞬间下降0.1km，如果保持这一速度，每经过1km,该河流的海拔高度下降 0. 1km. 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1.导数的概念和数学符号？ 2.导数在