2.2.4 均值不等式及其应用 第2课时课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2.4 均值不等式及其应用 新授课 2.2 不等式 第2课时 1.掌握均值不等式的变形 2.能利用均值不等式及其变形证明不等式 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点：均值不等式的变形 思考：我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利用 （a，b都是正数），也可使用 还能写出哪些变形？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 已知ab＞0，求证： ，并推导出等号成立的条件． 证明：因为ab＞0，所以 ， 根据均值不等式，得 ，即 ， 因为ab＞0，所以等号成立的条件是a＝b． 当且仅当 ，即a2＝b2时，等号成立． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 已知a，b是实数，求证：a2＋b2≥2ab．并说明等号成立的条件． 证明：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， 所以a2＋b2－2ab≥0，即a2＋b2≥2ab． 等号成立时，当且仅当(a－b)2＝0，即a＝b． 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：均值不等式与 a2＋b2≥2ab 有何区别与联系？ 区别：a2＋b2≥2ab去掉了a，b是正数的条件； 联系：均值不等式可以看成 a2＋b2≥2ab的一种特殊情况. 新课讲授 学习目标 课堂总结 假设图中直角三角形的直角边分别为a，b， a b S大正方形=a2＋b2 a＝b S大正方形=S三角形 当且仅当小正方形的面积为0即a＝b时取等号． S三角形=2ab 大正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和，即a2＋b2≥2ab， 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3 已知a，b∈R，求证： （1）(a＋b)2≥4ab； （2）2(a2＋b2)≥(a＋b)2． 证明：（1）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上2ab，得 a2＋b2＋2ab≥4ab， 即（a＋b）2≥4ab； 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3 已知a，b∈R，求证： （1）(a＋b)2≥4ab； （2）2(a2＋b2)≥(a＋b)2． （2）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上a2＋b2，得 2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab， 即2（a2＋b2）≥（a＋b）2． 新课讲授 学习目标 课堂总结 已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证: 练一练 解：因为 a＞0，b＞0，a＋b＝1， 当且仅当 时，等号成立． 所以 所以 同理 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 1.无附加条件：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件． 利用均值不等式证明不等式： 2.有附加条件：观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件变形代换． 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： （1）均值不等式有哪些变形？如何证明？ （2）如何利用均值不等式及其变形证明不等式？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$