2.1.1 等式的性质与方程的解集课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.1.1 等式的性质与方程的解集 新授课 2.1 等式 1.能运用等式的性质及恒等式进行代数变形 2.会求一元一次方程以及一元二次方程的解集 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 回顾：下列等式的性质怎么用符号语言表示？ 若a=b，则∀c，a+c=b+c. 知识点1：等式的性质 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立. 若a=b，则∀c≠0，ac=bc. 思考：c≠0有什么作用，可以去掉吗？ c在不为零的条件下，a=b是ac=bc的充要条件. 新课讲授 学习目标 课堂总结 减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数. 因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准 等式①②④⑥对任意实数都成立，而等式③⑤只是存在实数使其成立. 知识点2：恒等式 ④ (a+b)c=ac+bc； ⑤ m(m-1)=0； ⑥ t3+1=(t+1)(t2-t+1). ① a2-b2=(a+b)(a-b)； ② (x+y)2=x2+2xy+y2； ③ 3x-6=0； 新课讲授 学习目标 课堂总结 恒等式是进行代数变形的依据之一. (x + y)2= x2+2xy+y2 (x - z)2= x2+2x(-z)+(-z)2 = x2-2xz+z2 用-z替换y 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 化简(2x+1)2-(x-1)2 解：(方法一）可以利用两数和的平方 公式与两数差的平方公式展开，然后 合并同类项， =3x2+6x （方法二）可以将2x+1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式 =3x(x+2) =3x2+6x (2x+1)2-(x-1)2 =4x2+4x+1-(x2-2x+1) (2x+1)2-(x-1)2 =[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)] 新课讲授 学习目标 课堂总结 D C (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x,a,b,都有 可以利用这个恒等式来进行因式分解. 1 1 =a+b=C a b 给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得C=a+b且D=ab, 1 十字相乘法 x2+Cx+D=(x+a)(x+b). 则 1·a 1·b + 十字相乘法 1 1 =5 2 3 1 x2+5x+6 1·3 1·2 + =(x+2)(x+3) 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：观察恒等式(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd，探讨Ex2+Fx+G的因式分解方法. 十字相乘法的一般形式. Ex2+Fx+G a c =ad+bc=F b d ad bc + =(ax+b)(cx+d) 3x2+11x+10 1 3 =11 2 5 5 6 + =(x+2)(3x+5) 新课讲授 学习目标 课堂总结 (1) x2+7x+10； (2) 7x2-19x-6. 练一练 解：(1) x2+7x+10 分解因式： 所以x2+7x+10=(x+2)(x+5). (2) 7x2-19x-6 所以7x2-19x-6=(x-3)(7x+2). 1 1 =7 2 5 5 2 + 1 7 =-19 -3 2 2 -21 + 新课讲授 学习目标 课堂总结 方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 知识点3：方程的解集 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，结合任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零这一结论，可以得到方程的解集. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 求方程 x2-5x+6=0 的解集. 解：因为x2-5x+6=(x-2)(x-3),所以原方程可以化为 (x-2)(x-3)=0 因此所求解集为{2,3}. 从而可知x-2=0或x-3=0,即x=2或x=3, 新课讲授 学习目标 课堂总结 如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为 (x-x1)(x-x2)=0 的形式，就能方便地得出原方程的解集. 归纳总结 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3 求关于x的方程 ax=2 的解集，其中a是常数. 当a=0时，方