2024年九年级中考数学复习 二次函数之直角三角形存在性问题

中考数学压轴题专项练习 二次函数之直角三角形存在性问题 1．（2023•利川市模拟）抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t． （1）求该抛物线的解析式； （2）用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标； （3）过点C作于点H，， ①求点P的坐标； ②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023秋•克东县期末）综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标为 ； （3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把的面积分成两部分，使，请求出点D的坐标； （4）若M为抛物线对称轴上一动点，是否存在点M，使得是以BC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023秋•宽城区期末）在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象经过点和点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求m的取值范围； （3）当时，设二次函数的最大值与最小值的差为h，求h与m之间的函数关系式； （4）点P在直线上运动，若在坐标平面内有且只有两个点P使为直角三角形，直接写出m的取值范围． 4．（2023•西宁一模）如图，抛物线与x轴交于点和． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，连接OC，x轴上方的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023•海拉尔区模拟）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2023•金凤区校级二模）已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）设点Q是线段AB上的动点，作轴交抛物线于点M，求线段QM长度的最大值； （3）在x轴上是否存在点N使为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2023秋•邳州市期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是该图象的顶点． （1）求二次函数的表达式； （2）点P为线段MB上一个动点，过点P作轴于点D，且． ①当的面积等于面积时，求m的值； ②当为直角三角形时，点P的坐标为 ． 8．（2023秋•中阳县期中）综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）P为线段MB上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S． ①求的面积S的最大值； ②在MB上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．（2023秋•福山区期中）如图，二次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点． （1）求出a的值及二次函数的表达式； （2）当随x的减少而增大且时，直接写出x的取值范围； （3）在抛物线上是否存在一点E，使的面积等于，若存在请求出E点坐标，不存在请说明理由； （4）在x轴上确定一点P使为直角三角形，请直接写出P点的坐标． 10．（2023秋•龙湾区月考）已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结AB． （1）求点A、B的坐标； （2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移2m个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值； （3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB，过P作，与抛物线另一个交点为Q，M，N为AB上两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②是否存在点P使得PB与QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存