上海市进才中学2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题

上海市进才中学2023学年第一学期期终考试 数学学科试卷 （时间120分钟，满分150分） （2024年1月） 命题教师 华旻可 审题教师 张轶平 一､填空题（本大题满分54分）共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分 1. 已知直线，若，则的值为______. 2. 直线与的夹角大小为____________. 3. 已知直线经过点，且它的倾斜角等于直线的倾斜角的倍，则直线的方程为 _________ ． 4. 圆锥侧面展开图为圆心角为直角，半径为2的扇形，则圆锥的体积为________. 5. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则______． 6. 抛物线准线与圆相交于A、B两点，则______． 7. 已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为__________. 8. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为__________. 9. 已知，，是椭圆（）的左，右焦点，P为椭圆上一点，为等腰三角形，，则C的离心率为________． 10. 在正方体中，点分别是的中点． ①； ②与所成角为； ③平面； ④与平面所成角的正弦值为． 其中所有正确说法的序号是________． 11. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）. 给出下列三个结论： ①曲线关于直线对称； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________. 12. 已知一个酒杯是由一个抛物线绕其对称轴旋转一周形成的，抛物线的方程为：，现在将一个半径为的小球放入酒杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是__________. 二､选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案. 13. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 已知四面体是的重心，若，则（ ） A. 4 B. C. D. 15. 若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则（ ） A B. C. D. 16. 已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 三､解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤， 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求点B到平面距离． 18. 已知圆和点． （1）过点向圆引切线，求切线方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，求弦中点的轨迹方程． 19. 如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为的圆的一段劣弧.路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2.设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上.以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系. （1）当点恰好为路面中点时，求此时圆方程； （2）记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值. 20. 如图，在直角梯形中，，，且现以为一边向外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的正切值． 21. 已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合. （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试证明：； （3）若过点直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值. 上海市进才中学2023学年第一学期期终考试 数学学科试卷 （时间120分钟，满分150分） （2024年1月） 命题教师 华旻可 审题教师 张轶平 一､填空题（本大题满分54分）共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】4 【6题答案】 【答案】2 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】②③ 【11题答案】 【答案】①② 【12题答案】 【答案】 二､选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案. 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】A 【