专题11 等比数列的前n项和（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题11 等比数列的前n项和 知识点一 累乘法 例1．（2023上·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和，并求出的取值范围. 例2．（2023下·山西大同·高一校考期末）已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设 ，求数列的前项和． 1．（2023下·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知是公比为的等比数列，，若数列是递增数列，求的取值范围． 2．（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）数列中，． (1)求数列的通项公式． (2)求前n项和． 知识点二 判断或证明等比数列 例3．（2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（三）数学试题）已知数列满足，，是公比为2的等比数列． (1)证明：是等比数列； (2)求的前项和． 例4．（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和为，是n、的等差中项，． (1)证明：是等比数列； (2)设，数列的前n项和，证明：． 1．（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)记，求数列的前项和. 2．（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）在数列中，且满足（且）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 知识点三 构造等比数列 例5．（1）、（2023上·吉林长春·高二校考期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． （2）、（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 1．（2023下·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·安徽淮北·高二淮北一中校考阶段练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 例6．（2023上·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）设数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 1．（2023上·甘肃临夏·高二校联考期中）已知数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，若的前n项和为，求. 知识点四 综合性质 例7．（1）、（2024上·山西·高三期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．8 B．26 C．80 D．54 （2）、（2024上·吉林白山·高二统考期末）等比数列的各项均为正数，其前项和为，已知，则 . （3）、（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 1．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）等比数列中，为的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2023上·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则 ． 3．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知数列是递增的等比数列，其前n项和为.若，，则（    ） A． B． C．或 D．－3或 知识点五 错位相减法 例8．（2024上·江苏·高二期末）已知等差数列满足，等比数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 例9．（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列前项和为，且满足__________.①首项，均有；②，均有且，从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题： (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和的表达式. 1．（2023上·河南商丘·高二商丘市第二高级中学校考阶段练习）已知公比为2的等比数列满足成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．（2024上·湖北·高二期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且 (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 等比数列的前n项和 知识点一 累乘法 例1．（2023上·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和，并求出的取值范围. 【答案】(1)（） (2)，答案见解析 【分析】（1）将已知条件变形为，运用累乘法即可求得结果. （2）运用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为，（）， 所以，（）， 所以，，，…，，（且）， 所以（且）， 整理得：（且），即，（且）， 又因为，所以，（且）， 当时，适合上