专题16 导数与函数的极值（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题16 导数与函数的极值 知识点一 求函数的极值点与极值 1、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 例1、（2022上·天津红桥·高二统考期末）函数在处有极值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2、（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（    ） A．8 B． C．2 D． 1．（2022下·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知为函数的极大值点，则 ． 2．（2022·四川泸州·统考一模）已知函数存在极值点，则实数a的取值范围是 ． 例3、（2022下·西藏林芝·高二校考期末）已知函数． (1)若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值； (2)讨论的单调性． 例4、（2021·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 例5、（2021·北京·统考高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 例6、（2022下·北京顺义·高二统考期末）已知函数. (1)求单调区间； (2)求在区间上的最值. 知识点二 根据极值求参数范围 例7．（2023上·湖南张家界·高二统考期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例8．（2022·新疆·统考三模）若函数在处有极值10，则（    ） A．6 B． C．或15 D．6或 1．（2021上·山东泰安·高三统考期中）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为 . 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．则的极值点有 个. 例9．（2018·全国·高考真题）已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 例10．（2018下·内蒙古赤峰·高二校联考期末）已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数有两个零点，且，证明：. 例11．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数，，其中为实数. (1)求的极值； (2)若有4个零点，求的取值范围. 例12．（2022·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数，）． (1)求的单调区间和极值； (2)若存在，满足，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 导数与函数的极值 知识点一 求函数的极值点与极值 1、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 例1、（2022上·天津红桥·高二统考期末）函数在处有极值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在处有极值为，由，求解. 【详解】因为函数， 所以， 所以，， 解得a=6,b=9， =-3， 故选：B 例2、（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，从而