专题17 导数与函数的最值（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题17 导数与函数的最值 知识点一 求函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 【解题方法总结】 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 例1、（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）若为函数的极值点，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 例2、（2024·全国·高三专题练习）当时，函数取得极值，则在区间上的最大值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 例3、（2019下·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）函数，则函数在区间上的值域是（    ） A． B． C． D． 1．（2024上·浙江温州·高二统考期末）（多选题）已知函数，则（    ） A． B．有两个极值点 C．在区间上既有最大值又有最小值 D． 2．（2024·海南海口·统考模拟预测）（多选题）设函数，则（    ） A． B．函数有最大值 C．若，则 D．若，且，则 3．（2023上·四川南充·高三四川省南部中学校考阶段练习）已知函数在区间上的最小值为 ． 例4、（2024上·江苏扬州·高二统考期末）已知函数在处取得极小值5． (1)求实数a，b的值； (2)当时，求函数的最小值． 例5、（2024上·山西长治·高二统考期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在处有极大值，求在上的最值. 例6、（2024上·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数． (1)，求函数的最小值； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 知识点二 求函数的最值（含有参数） 例7．（2024·全国·模拟预测）若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8．（2023下·陕西榆林·高二统考期末）若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（2023下·浙江·高二校联考阶段练习）已知，均为正实数，不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（2023·四川资阳·统考模拟预测）若函数存在最小值，则的取值范围是 ． 例9．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在上的值域； (2)若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围. 例10．（2024上·浙江宁波·高二统考期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 知识点三 函数极值与最值得综合应用 例11．（2024上·江苏徐州·高二统考期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数有最小值2，求a的值. 例12．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知函数. (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，，求的取值范围. 例13．（2023上·高二课前预习）（1）求函数的最值．　 （2）求函数（是自然对数的底数）的最值． （3）已知a为常数，求函数的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司