专题08 等差数列（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题08 等差数列 知识点1、 等差数列的概念及其定义 一般地，如果一个数列从______________，相邻每一项与它的前一项的差等于同一个______________，那么这个数列就叫做______________，这个常数叫做等比数列的公差；公比通常用字母________表示， 即：____________________________或____________________________。 特别注意：证明或判断等差数列____________________________。 例1．（1）、（2023上·上海·高二校考期中）已知2，a，成等差数列，则a的值为 ． （2）、（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是 ． （3）、（2023上·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，且，则 （   ） A．4 B．6 C．8 D．10 （4）、（2024·四川自贡·统考一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前项分别为，则该数列的第项（    ） A． B． C． D． 1．（2024上·甘肃白银·高二校考期末）在等差数列中，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 2．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 . 3．（2023上·安徽安庆·高二校考阶段练习）等差数列5，8，11，…与等差数列3，8，13，…都有100项，那么这两个数列相同的项共有 项． 4．（2024上·贵州·高三统考开学考试）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2024，则数列的首项为（    ） A． B． C．或 D．3或 例2、（2023上·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知数列满足：，. (1)计算数列的前4项； (2)求证：是等差数列； (3)求的通项公式. 例3、（2023上·山东泰安·高二山东省泰安第二中学校考阶段练习）（1）已知数列满足，. ①证明：数列是等差数列； ②求数列的通项公式； （2）数列满足，，求数列的通项公式. 1．（2023下·高二课时练习）已知数列，满足，，记. (1)试证明数列为等差数列； (2)求数列的通项公式． 2．（2023上·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知数列满足， (1)求证：数列为等差数列; (2)求数列的通项公式与最大值. 知识点2、等差数列的通项公式 等差数列的通项公式：____________________________或____________________________。 ①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差； ②若公差，则为递增等差数列；若公差，则为递减等差数列；若公差，则为常数列。 例4．（1）、（2023上·重庆·高二重庆八中校考阶段练习）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． （2）、（2023上·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知数列满足，（，），则 ． （3）、（2023上·安徽淮北·高二淮北一中校考阶段练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 1．（2023·全国·高二假期作业）等差数列的公差，且，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期中）等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为 3．（2023下·山东日照·高二统考期中）在等差数列中，已知，那么 . 例5．（2023上·新疆喀什·高二校考阶段练习）在等差数列中， (1)已知，公差，求； (2)已知公差，，求； 1．（2023上·重庆·高二重庆市育才中学校联考阶段练习）已知是等差数列，若，． (1)求的通项公式； (2)证明是等差数列． 知识点3、等差中项 若成等差数列，则A叫做与的_____________，且__________________。 ①当时,则有，特别地，当时，则有. 例6．（1）、（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．4 B．5 C． D． （2）、（202