专题19 恒成立问题（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题19 恒成立问题 1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 4、法则1若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 法则2若函数和满足下列条件：（1）及； （2），和在与上可导，且； （3）， 那么=． 法则3若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3）， 那么=． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理，，，，，，型． （3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． ，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 例1、（2023下·河南许昌·高二校考期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2、（2023下·广东深圳·高二蛇口育才中学校考阶段练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3、（2024·全国·模拟预测）已知函数单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4、（2024上·河北·高三石家庄精英中学校联考期末）设实数，若对恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例5、（2023上·湖南邵阳·高三校联考阶段练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 例6、（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）若存在，使得，则的取值范围是 . 例7、（2024上·浙江宁波·高二余姚中学校联考期末）对任意，函数恒成立，求a的取值范围 ． 例8、（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 例9、（2024上·广东深圳·高二统考期末）已知函数. (1)证明：当时，； (2)若恒成立，求的取值范围. 例10．（2024上·山西大同·高二统考期末）已知函数在时取得极值． (1)求实数的值； (2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围． 例11．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知函数 (1)当时，求的最小值； (2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 例12．（2024·广东惠州·统考模拟预测）已知函数. (1)若，函数的极大值为，求实数a的值； (2)若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围. 例13．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，求证：. 例14．（2024上·辽宁抚顺·高三校联考期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恰好有两个零点，，且恒成立，证明：. 例15．（2024·云南昆明·统考一模）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 恒成立问题 1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 3、不等