第03讲 等比数列（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

第03讲 等比数列 【人教A版】 模块一 等比数列的概念 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 4．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 5．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【题型1 等比数列的基本量计算】 【例1】（25-26高二上·湖南·月考）在等比数列中，，则公比（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的通项公式列式求值. 【解答过程】由，可得，所以. 故选：B. 【变式1.1】（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知等比数列的公比，则首项（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】由等比数列通项公式求解即可. 【解答过程】由题意知首项. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）若等比数列满足，，则（   ） A． B． C．16 D．32 【答案】B 【解题思路】根据已知条件可建立关于首项和公比的方程组，计算出首项和公比后即可计算出即可. 【解答过程】设等比数列的公比为， 则由，， 得，，解得，， 则. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二下·广东江门·期末）已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【解答过程】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 【题型2 等比数列的判定与证明】 【例2】（24-25高二下·湖南·月考）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解题思路】令可得，可证得是以公比为的等比数列，由此甲能推出乙，举反列可说明乙不能推出甲，再由充分条件和必要条件可得出答案. 【解答过程】令，可得，即， 所以是以公比为的等比数列，所以甲能推出乙， 若是等比数列，则取，， 所以，所以乙不能推出甲， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2.1】（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用等比数列的定义判断即可. 【解答过程】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确；         ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 【变式2.2】（25-26高二·全国·假期作业）已知数列满足，．设． (1)求，，； (2)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (3)求的通项公式． 【答案】(1)，，． (2)是，理由见解析 (3) 【解题思路】（1）利用递推关系式，先求出，即可求解； （2）根据题设条件，利用等比数列的定义，即可求解； （3）利用（2）中结果及等比数列的通项公式，即可求解. 【解答过程】（1）因为，则， 将代入得，又，所以， 将代入得，又， 所以，，． （2）是首项为1，公比为2的等比数列，理由如下， 由题可得，即，又因为， 所以是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）知，所以． 【变式2.3】（24-25高二下·浙江杭州·期中）数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，证明：数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】(1)构造结合等比数列的定义判断即可； (2)根据（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式，根据裂项相消求和证明即可. 【解答过程】（1）由可得，解得，则. 且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证. （2）由（1），故， ， 故 ，即得证. 【题型3 等比数列的性质及应用】 【例3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用等比数列的性质和等比中项的性质即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为，则， 由等比数列的性质可得，， 所以，，所以. 故选：C. 【变式3.1】（25-26高二上·江苏淮安·月考）等比数列满足，则（  ） A． B．5 C．10 D．25 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用等比数列性质求解即得． 【解答过程】在等比数列中，由，得． 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二上·天津·期末）已知数列是等比数列，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】根据等比中项求出，再根据等比数列的奇数项同号即可确定的值. 【解答过程】设等比数列的公比为 ， ，， ， ， 又 ， . 故选：B. 【变式3.3】（25-26高二上·河北衡水·月考）若，，三个数依次成等比数列，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】直接利用等比中项列方程求解即可. 【解答过程】因为，，成等比数列， 由等比数列的性质得，解得. 故选：A. 【题型4 等比数列的通项公式】 【例4】（24-25高二下·山西太原·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用等差中项的性质及等比数列的通项公式求得公比，进而写出通项公式. 【解答过程】由题设，若的公比为，则，， 所以 ，则. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二上·湖南·期末）在数列中，为其前项和.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据与的关系式，求得，进而得到数列是等比数列，再用公式计算即可. 【解答过程】因为，所以当时，.两式相减，得，. 因为，且当时，，所以，所以， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高二下·广东佛山·期中）已知是首项为1的等比数列，数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件得到方程，求出公比，从而得到通项公式； （2）先得到，裂项得到，进而求和即可. 【解答过程】（1）设的公比为，根据题意，当时，． 即，解得．所以． （2）因为，所以， 方程两边都除以得． 所以． 于是． 【变式4.3】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知数列是各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2025项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等差中项公式与等比数列的通项公式即可求解； （2）利用裂项相消法结合对数运算公式求数列的前项和即可. 【解答过程】（1）数列是各项均为正数的等比数列，设公比为，则， 因为是和的等差中项，则，即， 因为，所以，又，解得， 所以. （2）由（1）知， 则， 所以， 所以. 模块二 等比数列的前n项和公式 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记，则是一个指数式与一 个常数的和.当q>0且q≠1时，y=qn是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【题型5 等比数列前n项和的性质】 【例5】（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【答案】A 【解题思路】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解. 【解答过程】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A. 【变式5.1】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】A 【解题思路】根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案. 【解答过程】等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 【变式5.2】（2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由等比数列前项和的性质，成等比，公比为，结合即可求公比. 【解答过程】设等比数列的公比为， 根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为， 又，即，所以， 解得. 故选：D. 【变式5.3】（24-25高二上·河南·月考）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【解题思路】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【解答过程】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为 则， 又，则，解得， 故数列的所有项之和是. 故选：D. 【题型6 求等比数列的前n项和】 【例6】（24-25高二下·四川成都·月考）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等比数列的性质可求公比，再求出首项后利用公式可求. 【解答过程】因为，，故， 故，故，故， 故选：A. 【变式6.1】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．1028 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【解题思路】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 则. 故选：B. 【变式6.2】（25-26高二上·重庆·月考）已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题意先求出基本量，再把目标式转化为等比数列求和，进而利用公式法求解即可. 【解答过程】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因为，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D. 【变式6.3】（2025高三·全国·专题练习）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（   ） A． B．31 C． D．以上都不正确 【答案】B 【解题思路】设的公比为，，由等差数列性质可得，进而可得，再由等比数列前项和公式计算即可. 【解答过程】设的公比为，， 由已知得， 即， 因为，所以． 解得或（舍去），则， 所以． 故选：B． 【题型7 等比数列的简单应用】 【例7】（25-26高二上·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 【答案】C 【解题思路】根据等比数列求和公式即可求解. 【解答过程】由题意可知，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比， 则该热气球在前3分钟里上升的总高度为米. 故选：C. 【变式7.1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元） 参考数据：，， A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6 【答案】C 【解题思路】本题是复利计息问题，逐年分析寻找规律，然后根据等比数列的求和公式即可求解. 【解答过程】由题意，2025年存的2000元共存了10年，本息和为万元， 2026年存的2000元共存了9年，本息和为万元， 2034年存的2000元共存了1年，本息和为万元， 所以到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为万元， 故选：C. 【变式7.2】（24-25高二下·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意转化为等比数列基本量的计算问题. 【解答过程】由条件可知，每层的红灯数构成等比数列，设最上面一层的红灯数为，公比，， 则，得， 中间一层的红灯数为. 故选：C. 【变式7.3】（24-25高二下·四川资阳·期中）朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，将每个音的频率看作等比数列，且数列共13项，且，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可求解. 【解答过程】由题意知，一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等， 设第一个音的频率为，相邻的两个音之间的频率之比为， 则将每个音的频率看作等比数列，共13项，且， 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，可得，可得， 所以，， 所以. 故选：B. 【题型8 等比数列与不等式综合】 【例8】（24-25高二下·河南周口·月考）已知等比数列的前项和为，公比，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．16 B．32 C．64 D．8 【答案】C 【解题思路】首先求出，即可求出通项公式及，依题意可得恒成立，参变分离可得，再由基本不等式计算可得. 【解答过程】由，解得， 所以， 故由，可得， 所以， 由于，当且仅当，即时等号成立， 故，所以实数的最大值为. 故选：C． 【变式8.1】（24-25高二上·云南昭通·期末）已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．18 C．27 D．54 【答案】D 【解题思路】根据等比数列基本量的计算可得首项，进而可得，将不等式转化为，利用基本不等式即可求解. 【解答过程】由则， 所以， 故由可得， 所以， 由于，当且仅当，即时等号成立， 故， 故选：D. 【变式8.2】（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知数列的前项和为，且．求证： (1)数列为等比数列； (2)数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用的关系可得，进而则可证结论； （2）由（1）可求得，利用裂项相消法可求得，计算可证结论. 【解答过程】（1）当时，由，① 得，② 由①-②得，，所以． 又，且，所以，且． 所以，． 所以，数列为以2为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得数列为以2为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以，所以， 所以． 所以， ． 又，所以，． 【变式8.3】（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足． (1)求的值； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【解题思路】（1）根据递推公式即可求解； （2）由得出，即可证明，进而得出通项公式； （3）由（2）得，再分类讨论为正奇数或正偶数，解不等式即可求解． 【解答过程】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． （3）由（2）得， ①当为正奇数时， ， 由，得， 即， 因为，所以对任意的正奇数都成立， 当时，有最小值1， 所以． ②当为正偶数时， ， 由，得， 即， 因为，所以对任意的正偶数都成立， 当时，有最小值，所以， 综上，可知，即实数的取值范围是． 【题型9 等差数列与等比数列综合】 【例9】（2025·广东·模拟预测）已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（   ） A．30 B．32 C．42 D．46 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列、等比数列前项和公式列式求解即可. 【解答过程】依题意，，显然， ，则， 又，故， 所以，由，得， 则，解得，所以. 故选：A. 【变式9.1】（2025·河南·一模）数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用等差、等比数列的通项公式及已知列方程求基本量，进而得到，，再由题设条件得求参数，即可得. 【解答过程】由题意得，解得，， 所以，， 由，即对任意的正整数n都成立， 所以，解得，，所以. 故选：C. 【变式9.2】（25-26高三上·江苏·月考）已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 【答案】(1)，. (2) 【解题思路】（1）根据题意结合等差、等比数列通项公式可得，，即可得结果； （2）根据等差、等比数列求和公式可得，，代入求解即可. 【解答过程】（1）由题意得：，， 解得，， 所以，. （2）由（1）可得，， 若，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以m的值为15. 【变式9.3】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可； （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，得，故， 又，消去可得，则（舍）或． 则，故． （2）因为，所以， 则. 一、单选题 1．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知等比数列满足，则（    ） A．9 B．36 C．54 D．72 【答案】B 【解题思路】设出等比数列的公比，利用等比数列的通项公式化简等式，可得答案. 【解答过程】因为数列为等比数列，设等比数列的公比为， 因为， 则，可得，解得， 所以. 故选：B. 2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知条件结合等比数列的性质得，，成等比数列，由此能求出． 【解答过程】设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列. 因为，所以，所以，故. 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】当时，可得，两式相减，求得，得到数列为等比数列，进而求得其通项公式. 【解答过程】由，当时，可得， 两式作差，可得，即， 所以， 当时，可得，即，解得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 4．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 【答案】B 【解题思路】由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比. 【解答过程】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以. 故选：B. 5．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据递增数列的定义结合特例即可求解. 【解答过程】若有数列为递增数列，则， 当时，如：，满足， 但数列不是递增数列， 所以是数列为递增数列的必要不充分条件， 故选：B. 6．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【解题思路】根据题干确定各等比数列，结合等比数列求和公式，列不等式，解不等式即可. 【解答过程】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半， 所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和， 又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍， 所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和，令， 解得或， 因为，所以， 故选：A. 7．（25-26高二上·浙江·月考）已知公比为3的等比数列的前项和为，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题写出，参变分离后，运用基本不等式即可得解. 【解答过程】由题可知，.由可得， 由基本不等式可知， 当且仅当，即时，等号成立，所以. 故选：C. 8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）设正项等比数列的公比为，前项和为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．成等比数列 D． 【答案】D 【解题思路】根据等比数列的通项公式和前项和公式逐项判断. 【解答过程】正项等比数列的公比为，前项和为， 则， 对于A，，，不一定相等， A错误； 对于B，当 ，B错误； 对于C，当 ， 由于， 则，C错误； 对于D，当时， ， 此时， 当时，，此时， 所以，D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解题思路】根据等比数列的定义与等比中项逐一判断即可. 【解答过程】设等比数列，是两个公比分别为，且 对于A，因为， ， 因,则，故不是等比数列，即A错误； 对于B，因为， ， 与A同理，，故不是等比数列，即B错误； 对于C，因为， ，是一个常数，所以是等比数列，故C正确. 对于D，因为，，是一个常数， 所以是等比数列，故D正确. 故选：CD. 10．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】ACD 【解题思路】对于A，分，讨论可得；对于B、C，借助，得为递减数列，即，结合，得 ；对于D，由BC知当时，，当时，，即可得的最大项. 【解答过程】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以 ，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以 ，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 11．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（　　） A． B． C． D．是等比数列 【答案】ACD 【解题思路】设出公比，根据函数单调性得到，利用条件求出，进而得到首项，结合等比数列的定义，通项公式，求和公式对选项一一判断，得到答案. 【解答过程】设的公比为，则由递增，得， 因为，所以， 解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 又， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知等比数列，，，则公比 . 【答案】 【解题思路】由等比数列的性质计算可得. 【解答过程】由题意得， 解得. 故答案为：2. 13．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【解题思路】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【解答过程】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 14．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 【答案】9 【解题思路】根据等比数列的片段和的性质及等比中项求解即可. 【解答过程】由已知，显然公比， 所以成等比数列， 所以，即，解得或者， 因为，所以舍去， 故答案为：9. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，已知，，求公比和数列的通项公式． 【答案】或． 【解题思路】根据等比数列的通项公式求出公比，再得到通项公式即可. 【解答过程】设等比数列公比为q， 则，即，所以，解得， 当时，． 当时，． 所以数列的公比为2，通项公式为，或公比为，通项公式为． 16．（24-25高二下·江西上饶·期中）在数列中，，设． (1)求证：为等比数列，并求通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）由题意推得，可得为等比数列，进而求得的通项公式； （2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可求解． 【解答过程】（1）由，又，所以 因为，所以， 所以，因．则， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 可得； （2）由（1）知，记数列的前项和为， ． 17．（25-26高二上·四川达州·月考）已知数列，若，且. (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项的和为，求. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）根据数列的递推公式构造等比数列，再由等比数列的通项公式化简即得； （2）先求得，求出的通项，利用裂项相消法求和即得. 【解答过程】（1）因为， 所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列， 所以，则. （2）由（1）可得，所以， 故 . 18．（25-26高二上·江苏苏州·月考）某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上，理由见解析 【解题思路】（1）根据条件得到数列的递推关系，利用数列是等比数列，求的值即可； （2）首先由（1）得数列的通项公式，再求出的范围判断不等式是否有解即可. 【解答过程】（1）由题意知，经过次技术更新后，， 则， 即．设，则， 令，解得．又， 所以当时，是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知， 则，． 所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为， 对于任意，所以， 即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上． 19．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可. （2）先将绝对值数列分类讨论拆分，再求和即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，则或． 又因为，所以，解得，故，． （2）由上问得，则， 令，解得，此时， 令，解得，此时， 则前项和为， 第6到第16项和为， 则. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等比数列 【人教A版】 模块一 等比数列的概念 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 4．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 5．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【题型1 等比数列的基本量计算】 【例1】（25-26高二上·湖南·月考）在等比数列中，，则公比（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.1】（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知等比数列的公比，则首项（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1.2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）若等比数列满足，，则（   ） A． B． C．16 D．32 【变式1.3】（24-25高二下·广东江门·期末）已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【题型2 等比数列的判定与证明】 【例2】（24-25高二下·湖南·月考）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2.1】（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2.2】（25-26高二·全国·假期作业）已知数列满足，．设． (1)求，，； (2)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (3)求的通项公式． 【变式2.3】（24-25高二下·浙江杭州·期中）数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，证明：数列的前项和． 【题型3 等比数列的性质及应用】 【例3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·江苏淮安·月考）等比数列满足，则（  ） A． B．5 C．10 D．25 【变式3.2】（24-25高二上·天津·期末）已知数列是等比数列，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3.3】（25-26高二上·河北衡水·月考）若，，三个数依次成等比数列，则（    ） A． B．1 C． D．2 【题型4 等比数列的通项公式】 【例4】（24-25高二下·山西太原·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·湖南·期末）在数列中，为其前项和.若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·广东佛山·期中）已知是首项为1的等比数列，数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式4.3】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知数列是各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2025项和. 模块二 等比数列的前n项和公式 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记，则是一个指数式与一 个常数的和.当q>0且q≠1时，y=qn是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【题型5 等比数列前n项和的性质】 【例5】（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【变式5.1】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 【变式5.2】（2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【变式5.3】（24-25高二上·河南·月考）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【题型6 求等比数列的前n项和】 【例6】（24-25高二下·四川成都·月考）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．1028 B．1023 C．1024 D．1025 【变式6.2】（25-26高二上·重庆·月考）已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（2025高三·全国·专题练习）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（   ） A． B．31 C． D．以上都不正确 【题型7 等比数列的简单应用】 【例7】（25-26高二上·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 【变式7.1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元） 参考数据：，， A．2.5 B．2.0 C．2.2 D．2.6 【变式7.2】（24-25高二下·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高二下·四川资阳·期中）朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 【题型8 等比数列与不等式综合】 【例8】（24-25高二下·河南周口·月考）已知等比数列的前项和为，公比，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．16 B．32 C．64 D．8 【变式8.1】（24-25高二上·云南昭通·期末）已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．18 C．27 D．54 【变式8.2】（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知数列的前项和为，且．求证： (1)数列为等比数列； (2)数列的前项和． 【变式8.3】（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足． (1)求的值； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 【题型9 等差数列与等比数列综合】 【例9】（2025·广东·模拟预测）已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（   ） A．30 B．32 C．42 D．46 【变式9.1】（2025·河南·一模）数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 【变式9.2】（25-26高三上·江苏·月考）已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 【变式9.3】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 一、单选题 1．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知等比数列满足，则（    ） A．9 B．36 C．54 D．72 2．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 5．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 7．（25-26高二上·浙江·月考）已知公比为3的等比数列的前项和为，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）设正项等比数列的公比为，前项和为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．成等比数列 D． 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 11．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（　　） A． B． C． D．是等比数列 三、填空题 12．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知等比数列，，，则公比 . 13．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 . 14．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，已知，，求公比和数列的通项公式． 16．（24-25高二下·江西上饶·期中）在数列中，，设． (1)求证：为等比数列，并求通项公式； (2)求数列的前项和． 17．（25-26高二上·四川达州·月考）已知数列，若，且. (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项的和为，求. 18．（25-26高二上·江苏苏州·月考）某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 19．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $