题型12 5类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建（新高考通用）

题型12 5类平面向量解题技巧 （“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、 奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题） 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 技法02 系数和（等和线）的应用及解题技巧 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 技法04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 技法05 范围与最值的应用及解题技巧 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 “爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握 知识迁移 形如条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 （2）已知在线段上，且，则 例1-1．（全国·高考真题）设为所在平面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 解析：由图可想到“爪字形图得：，解得： 答案：A 例1-2．（2023江苏模拟）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 解：观察到三点共线，利用“爪”字型图，可得 ，且，由可得， 所以，由已知可得：，所以 答案：C 1．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 2. （全国·高考真题）在中，，．若点满足，则（ ） A． B． C． D． 3. （2020·新高考全国1卷·统考高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 5．（江苏·高考真题）设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是 技法02 系数和（等和线）的应用及解题技巧 近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用 知识迁移 如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以 于是 综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 例2-1．（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 【系数和】 分析：如图 ， 由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时 故选 . 例2-2．（衡水中学二模）边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ） 分析:如图，设，由等和线结论，.此为的最小值； 同理，设，由等和线结论，.此为的最大值. 综上可知. 例2-3．已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________ 【解析】如图,取中点为, 显然,当与重合时,取最小值1. 将平行移动至与相切处, 为切点时,取最大值. 延长交于,易知. 由等和线及平行截割定理,. 所以的最大值为. 故的取值范围是. 1. 在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上， 若，则的最大值为( ) 2. 如图，正六边形，是内（包括边界）的动 点，设，则的取值范围是____________ 3. 如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设 则的取值范围