题型10 6类三角恒等变换解题技巧（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式）-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建（新高考通用）

题型10 6类三角恒等变换解题技巧 （拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式） 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧 技法03 三倍角公式的应用及解题技巧 技法04 半角公式的应用及解题技巧 技法05 万能公式的应用及解题技巧 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角” 1、当“已知角”有两个时，“所求角"一般表示两个"已知角”的和与差的关系 2、当"已知角"有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和与差或倍数的关系，然后借助三角恒等变换公式把“所求角”变成“已知角” 知识迁移 例1-1．（全国·高考真题）tan255°= A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+ 【详解】= 例1-2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，所以，则 1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧 在三角恒等变换的倍角考查中，升幂公式及降幂公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点，要强加练习 知识迁移 升幂公式：， 降幂公式：， 例2-1．（2023·全国·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以 ． 例2-2．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 1．（2023·全国·模拟预测）已知，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 2．（2023·河南·统考模拟预测）已知 则 （    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 技法03 三倍角公式的应用及解题技巧 在三角函数或解三角形的一些问题中,会出现三倍角,解决起来需要把三倍角转化成一倍角与二倍角的和，化简起来会多些步骤，而知道三倍角公式,我们可以更快的得出结果 知识迁移 例3．已知在 中, 角 的对边依次为 , , 求 边长。 【解析】 1. 函数 的最小正周期为（）. A. B. C. D. 2. 已知 的内角 的对边分别为 . 若 , 且 为锐角, 则 的最小值为 ( ) A. B. 3 C. D. 4 技法04 半角公式的应用及解题技巧 半角公式是三角函数的一个重要知识点，也是高考重要考点，我们需要知道什么是半角公式及半角公式的考查形式 知识迁移 sin ＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝. 例4．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【详解】因为，而为锐角， 所以 ． 1．（2021·黑龙江·黑龙江实验中学校考模拟预测）已知，若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·江西上饶·上饶市第一中学校联考二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）已知是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 技法05 万能公式的应用及解题技巧 理论上上所有公式都是万能公式。但是真正提起万能公式的时候，是指三角函数中的正切半角公式，或称以切表弦公式 。这组公式可以将角的正弦、余弦、正切这几个三角函数统一用半角的正切值来表示，实现化简的目的。 知识迁移 例5．在 中, , 则 的最小值为 A. 4 B. C. D. 16 最小值为 1．（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知内角分别为，且满足，则的最小值为 . 2．（2021·全国·高三竞赛）已知满足，则的最小值是 ． 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 正余弦平方差公式是数学中一个重要的公式，它涉及到三角函数和代数运算，具有广泛的应用，需强加练习 知识迁移 正弦平方差公式: 余弦平方差公式: 例6．已知