专题01 集合、常用逻辑用语（专项训练）（全国通用）2027年春季高考数学

专题01 集合、常用逻辑用语 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 2 02题型探究・深度突破 2 题型01 元素与集合的关系 2 题型02 集合与集合的关系 2 题型03 命题的否定 3 题型04 充分条件与必要条件 4 03分层训练・达标过关 5 巩固过关 5 能力提升 5 1、 解答集合问题的基本思路是： （1） 先定性：先判断好集合的类型：点集，数集等等。 （2） 再化简：解方程，解不等式或者列举元素。 （3） 在求解：具体根据题意“交并补”或者其他的问题求解。 （4） 含参数的问题先考虑是否为空集。 （5） 遇到新运算，新定义的集合问题，先列几个元素试算，再找规律。 2、 解答常用逻辑用语问题的基本思路是： （1） 要明确“谁是条件、谁是结论”。 （2） 量词命题的否定要“改量词、否结论” 题型01 元素与集合的关系 元素与集合的关系的解题技巧 （1）先分清“属于”和“包含于”，元素和集合之间，用“属于”或“不属于”。 （2）如果已知某个元素属于某个集合，就让它等于集合中的某个元素，列出方程求参数集合。 （3）注意检验集合中的元素是否满足互异性。 1．（2025·江苏·合格考）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，则实数的值为__________． 3．若集合为单元素集，则的值为__________． 题型02 集合与集合的关系 集合与集合的关系的解题技巧 做题前先把每个集合解方程、解不等式、化成最简形式。集合没化简就运算，容易看错元素和范围。 （1）求交集，就是找两个集合都有的元素。 数轴上找重叠部分；韦恩图上找两个圈交叉的部分；点集就联立方程求交点。 （2）求并集，就是把两个集合的元素合在一起，重复的只算一次。 数轴上把两段范围合并；注意不要漏掉任何一段。 （3）补集先看全集 求补集，一定先看清全集是什么。补集就是全集里去掉这个集合后剩下的部分。 1．（2025·福建·合格考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26上·云南·期末合格考）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·春季高考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高二下·天津南开大学附属中学·模拟)设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 命题的否定 命题的否定的解题技巧 （1）全称变存在，存在变全称，结论取反，范围不动。 （2）常见自然语言否定要准确： • “都是”的否定：不都是，即至少有一个不是； • “都不是”的否定：至少有一个是； • “至少有一个”的否定：一个都没有； • “至多有一个”的否定：至少有两个。 1．（2026·广东·春季高考）已知命题：“，”，则为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建·合格考）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·合格考模拟）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（2026·广东·合格考模拟）命题“，”的否定是______. 题型04 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件的解题技巧 （1）先定方向，防语序陷阱，分清谁是条件，谁是结论。 （2）如果是范围问题：小到大为充分不必要条件，大到小是必要不充分条件。 （3）充分不必要对应真包含，必要不充分对应反向真包含，别漏空集。 1．（2024·江苏·合格考）“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(25-26高二下·天津南开大学附属中学·模拟)已知，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·福建·合格考）设，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 巩固过关 1．已知集合，，则______． 2．（2026·广东·合格考模拟）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·合格考模拟）已知集合，，则__________________ 4．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·福建·合格考）已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 6．（2024·山东·合格考）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 能力提升 1．设，则______．（选填“”、“”） 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 4．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·山东·学业水平考试）是等式成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·江苏·合格考）已知a，b是两条不同的直线，且平面，则“”是“平面”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合、常用逻辑用语 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 2 02 题型探究・深度突破 2 题型01 元素与集合的关系 2 题型02 集合与集合的关系 3 题型03 命题的否定 5 题型04 充分条件与必要条件 6 03分层训练・达标过关 7 巩固过关 7 能力提升 9 1、 解答集合问题的基本思路是： （1） 先定性：先判断好集合的类型：点集，数集等等。 （2） 再化简：解方程，解不等式或者列举元素。 （3） 在求解：具体根据题意“交并补”或者其他的问题求解。 （4） 含参数的问题先考虑是否为空集。 （5） 遇到新运算，新定义的集合问题，先列几个元素试算，再找规律。 2、 解答常用逻辑用语问题的基本思路是： （1） 要明确“谁是条件、谁是结论”。 （2） 量词命题的否定要“改量词、否结论” 题型01 元素与集合的关系 元素与集合的关系的解题技巧 （1）先分清“属于”和“包含于”，元素和集合之间，用“属于”或“不属于”。 （2）如果已知某个元素属于某个集合，就让它等于集合中的某个元素，列出方程求参数集合。 （3）注意检验集合中的元素是否满足互异性。 1．（2025·江苏·合格考）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质进行判断即可. 【详解】因为集合， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，，可以看出的周期为4， 的取值集合为，所以中元素的个数为3. 故选：C. 2．已知，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】分类讨论计算结合互异性计算求解. 【详解】由分两种情况讨论： 若，则，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得舍或，因此实数的值为； 3．若集合为单元素集，则的值为__________． 【答案】或 【分析】根据二次项系数是否为0，将方程分为一元一次方程、一元二次方程两类讨论，结合方程仅有1个实根的条件求解的值． 【详解】集合为单元素集等价于方程仅有1个实根，分两类讨论： 当时，方程化为一元一次方程，对应集合为，符合单元素集的要求； 当时，方程为一元二次方程，若有2个相等的实根，则判别式， 所以， 此时方程为，对应集合为，符合要求； 综上，的值为0或1． 题型02 集合与集合的关系 集合与集合的关系的解题技巧 做题前先把每个集合解方程、解不等式、化成最简形式。集合没化简就运算，容易看错元素和范围。 （1）求交集，就是找两个集合都有的元素。 数轴上找重叠部分；韦恩图上找两个圈交叉的部分；点集就联立方程求交点。 （2）求并集，就是把两个集合的元素合在一起，重复的只算一次。 数轴上把两段范围合并；注意不要漏掉任何一段。 （3）补集先看全集 求补集，一定先看清全集是什么。补集就是全集里去掉这个集合后剩下的部分。 1．（2025·福建·合格考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以. 2．（25-26上·云南·期末合格考）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合并集的概念和集合的表示方法求解即可. 【详解】因为集合，，则， 故选：C 3．（2026·广东·春季高考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程得到集合，由集合的并集运算得到结果. 【详解】，，，又，． 故选：D. 4．(25-26高二下·天津南开大学附属中学·模拟)设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合交集和补集的知识即可求解. 【详解】已知集合，，则， 又因为全集，所以，故B正确. 题型03 命题的否定 命题的否定的解题技巧 （1）全称变存在，存在变全称，结论取反，范围不动。 （2）常见自然语言否定要准确： • “都是”的否定：不都是，即至少有一个不是； • “都不是”的否定：至少有一个是； • “至少有一个”的否定：一个都没有； • “至多有一个”的否定：至少有两个。 1．（2026·广东·春季高考）已知命题：“，”，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题. 【详解】因为命题，所以． 故选：A. 2．（2024·福建·合格考）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题否定的定义即可得解. 【详解】命题“”的否定为. 故选：B. 3．（2026·广东·合格考模拟）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：D. 4．（2026·广东·合格考模拟）命题“，”的否定是______. 【答案】， 【分析】根据全称命题的否定为特称命题求解即可. 【详解】由全称命题的否定为特称命题可知， 命题“，”的否定是，. 故答案为：， 题型04 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件的解题技巧 （1）先定方向，防语序陷阱，分清谁是条件，谁是结论。 （2）如果是范围问题：小到大为充分不必要条件，大到小是必要不充分条件。 （3）充分不必要对应真包含，必要不充分对应反向真包含，别漏空集。 1．（2024·江苏·合格考）“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若等价于或，所以由不能推出， 若，则，即由可以推出， 所以是的必要且不充分条件. 故选：B. 2．(25-26高二下·天津南开大学附属中学·模拟)已知，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为或，所以由不能推出且，即充分性不满足； 但由且可得，即由且可推出，所以必要性满足； 所以是且的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2024·福建·合格考）设，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据二次不等式解法解出，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断． 【详解】或， 则，， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 巩固过关 1．已知集合，，则______． 【答案】 【分析】根据元素与集合的属于关系分类讨论的取值，再结合集合元素的互异性验证筛选得到正确结果． 【详解】由，可知集合中存在元素为0，分两类讨论： 若，则，与矛盾； 若，而，解得， 此时集合，满足集合元素的互异性，符合题意， 综上，． 2．（2026·广东·合格考模拟）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解出集合后由交集定义即可得. 【详解】， 又，故. 故选：D. 3．（2026·广东·合格考模拟）已知集合，，则__________________ 【答案】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 4．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题意得命题“，”的否定是，，故D正确. 5．（2025·福建·合格考）已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 【答案】A 【分析】通过分别判断条件间的充分性与必要性，结合等腰三角形和等边三角形的定义，确定两个条件间的逻辑关系. 【详解】若三角形的三个内角都相等，则该三角形为等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形， 故”三角形的三个内角都相等”可推出”三角形是等腰三角形”，充分性成立. 等腰三角形只需至少两个内角相等，不一定三个内角都相等， 故”三角形是等腰三角形”不能推出”三角形的三个内角都相等”，必要性不成立. 因此，”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的充分不必要条件. 6．（2024·山东·合格考）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】是模相等，不一定向量相等；若，则． 因此“”是“”的必要不充分条件． 能力提升 1．设，则______．（选填“”、“”） 【答案】 【详解】是有序实数对，且满足，故． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，集合， 因此 3．已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设有，， 所以，而阴影部分表示的集合为. 4．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定是，. 5．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据二次函数的单调性得出的取值范围，然后将得到的的取值范围和条件进行集合范围的比对，根据充分条件、必要条件的判定逻辑判断二者的推出关系. 【详解】该函数是开口向上的二次函数，配方得，对称轴为直线， 开口向上的二次函数，单调递增区间为，要让完全包含在递增区间内， 只需对称轴不在区间内部，即. 充分性：若，取反例，此时对称轴，函数在上单调递减， 不满足在上整体单调递增，因此“”无法推出结论，充分性不成立； 必要性：若函数在上单调递增，必有，显然，因此结论可以推出“”，必要性成立. 因此“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 6．（2025·山东·学业水平考试）是等式成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】当时，成立. 当时，或 所以由不能得出成立 所以是等式成立的充分不必要条件 故选：A 7．（2025·江苏·合格考）已知a，b是两条不同的直线，且平面，则“”是“平面”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质和判定进行判断即可. 【详解】因为平面，，所以平面，所以“”是“平面”的充分条件； 由于平面，平面，所以， 所以综上，“”是“平面”的充要条件. 故选：C. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $