题型08 手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建（新高考通用）

题型08 手把手教学答题模板 之4类函数单调性与函数极值最值 技法01 具体函数的单调性 技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性 技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性 技法04 二阶导函数求函数的单调性 技法05 函数的极值最值 技法01 具体函数的单调性 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图象、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而具体函数的单调性是要掌握的基础知识点 知识迁移 导函数与原函数的关系，单调递增，单调递减 例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，讨论的单调性 【详解】的定义域为． 由得，， 令，则，当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， 例1-2．（全国·高考真题）已知函数．若，求的单调区间 【详解】当a=3时，，． 令解得x=或x=． 当时， 当时． 所以函数的增区间是和，减区间是． 1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性 2． （2022·浙江·统考高考真题）设函数．求的单调区间 3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性 4．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．当时，求的单调区间 5．（2020·全国·统考高考真题）已知函数，当a=1时，讨论f（x）的单调性 技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点 例2-1．（2023·河北唐山模拟）已知函数．讨论的单调性； 【详解】因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 例2-2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性． 【详解】由题意函数的定义域为． 当时，若，则单调递增； 若，则单调递减． 当时，令，得或． ①当时，，则在上单调递增． ②当时，，则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． ③当时，，则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 例2-3．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知函数，讨论的单调性； 【详解】对求导得，，分以下两大情形来讨论的单调性： 情形一：当时，有，令，解得， 所以当时，有，此时单调递减， 当时，有，此时单调递增； 所以在单调递减，在单调递增； 情形二：当时，令，解得， 接下来又分三种小情形来讨论的单调性： 情形（1）：当时，有，此时随的变化情况如下表： 由上表可知在和上单调递增，在上单调递减； 情形（2）：当时，有，此时，所以此时在上单调递增； 情形（3）：当时，有，此时随的变化情况如下表： 由上表可知在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，讨论的单调性． 2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论的单调性； 3．（2023·全国·模拟预测）已知，讨论函数的单调性. 4．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数，求函数的单调区间； 5．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性 6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，讨论的单调性 技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图像、比较