专题08 三角函数及恒等变换（解密讲义）【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（安徽专用）

专题08 三角函数及恒等变换（解密讲义） 【知识梳理】 【考点1】任意角的三角函数 1．任意角的三角函数 (1)定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么 （1）比值叫做α的正弦，记作，即； （2）比值叫做α的余弦，记作，即； （3）比值叫做α的正切，记作，即； （4）比值叫做α的余切，记作，即； 说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；同理当时，无意义； (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线. 2．扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则： (1)弧长公式：l＝αR． (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2． 3．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tanα. 4．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 方法技巧： 对于三角函数诱导公式，为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆. 【考点2】三角恒等变换 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 基本公式 辅助角公式 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ； ． ． 注意： 方法技巧： 1.三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． 2.“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． 3.“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． 4.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 考点 命题点 考题 任意角的三角函数 ①任意角及扇形相关公式 ②同角三角函数关系 ③三角函数诱导公式 2023北京卷T13，2023全国乙卷（文）T14 2022浙江卷T14，2022全国甲卷（理）T8 2021年北京卷T14 三角恒等变换 ①两角和与差的三角函数 ②二倍角公式 2023新课标I卷T8，2023新课标II卷T7 2022新高考II卷T6，2021全国乙卷（文）T6 2021新高考I卷T6 考点一 任意角的三角函数 · 命题点1 任意角及扇形相关公式 典例01（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 典例02（2021·北京·统考高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 典例03（2020·浙江·统考高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ． · 命题点2 同角三角函数关系 典例01（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 典例02（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也