专题07 导数综合应用（解密讲义）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（安徽专用）

专题07 导数综合应用（解密讲义） 【知识梳理】 【考点1】利用导数研究不等式恒成立问题 1．分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 2．等价转化法求解不等式恒成立问题的思路 遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论． 3．含参数的能成立(存在型)问题的解题方法 a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max. 4．含全称、存在量词不等式能成立问题 (1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max； (2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min. 方法技巧： 求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关” 转化关 通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min) 求最值关 求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题 【考点2】利用导数研究函数的零点和方程的根 1.利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数． (2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 2.根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”． 考点 考题 利用导数研究不等式恒成立问题 2023全国甲卷（文）T20，2023全国甲卷（理）T21 2023天津卷T20，2023全国新课标I卷T19 2023全国新课标II卷T22，2022年新高考II卷T22 利用导数研究函数的零点和方程的根 2023全国乙卷（文）T8，2022全国乙卷（文）T20 2022全国甲卷（理）T21，2022全国乙卷（理）T21 2022新高考I卷T10 考点一 利用导数研究不等式恒成立问题 典例01（2023·全国·统考高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 典例02（2023·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 典例03（2023·天津·统考高考真题）已知函数． (1)求曲线在处切线的斜率； (2)当时，证明：； (3)证明：． 典例04（2023·全国·统考高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 典例05（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 3．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 考点二 利用导数研究函数的零点和方程的根 典例01（2023·全国·统考高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例02（2022·全国·统考高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 典例03（2022·全国·统考高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 典例04（2022·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 典例05（2021·全国·统考高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 1．已知函数有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A．