专题18 直角三角形的核心知识点精讲（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题18 直角三角形的核心知识点精讲 1.了解直角三角形的概念； 2.证明并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角 互余 (无需证明)；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角 三角形； 4.掌握勾股定理；会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等； 考点1：直角三角形的性质与判定 直 角 三 角 形 性质 1.两锐角之和等于90° 2.斜边上的中线等于斜边的一半 3.30°角所对的直角边等于斜边的一半 1. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明） 2. 勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则 判定 1.有一个角为90°的三角形时直角三角形 2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形 1. 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足 ，那么这个三角形为直角三角形。 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 考点2： 勾股定理及逆定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. （2） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. （3）勾股数：像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【题型1：直角三角形的性质与判定】 【典例1】（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 1．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 2．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（　　） A．4m B．6m C．10m D．12m 【题型2：勾股定理及逆定理】 【典例2】（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 　　尺． 1．（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 　 km． 3．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝　　． 4．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 　　cm．（杯壁厚度不计） 【题型3：勾股定理与弦图、拼图】 【典例3】（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方