专题10 一元二次方程【五大题型】-2024年中考数学一轮复习高频考点精讲与热点题型精练（全国通用）

专题10 一元二次方程【五大题型】 一、解一元二次方程 【高频考点精讲】 1．用“配方法”解一元二次方程 （1）把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； （2）方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； （5）如果右边是非负数，可以通过直接开平方法求解；如果右边是负数，则判定此方程无实数解。 2．用“因式分解法”解一元二次方程 （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 3．用“换元法”解一元二次方程 （1）把方程中某个含有未知数的式子看成一个整体，用另一个未知数去替换它，从而将原方程转化成关于新未知数的方程，这种方法叫做“换元法”。 （2）“换元法”关键是构造元和设元，目的是变换研究对象，将问题转移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化。 【热点题型精练】 1．（2023•绵阳）若x＝3是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　） A．a＜1 B．1＜a C．a＜2 D．2＜a 2．（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3 3．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（　　） A．x1＝2+2，x2＝2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2 C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 4．（2023•镇江）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根，则m＝　 　． 5．（2023•株洲）已知实数m、x满足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4． ①若，则x2＝　 　； ②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有 　 　个． 6．（2023•广州）解方程：x2﹣6x+5＝0． 二、高次方程和无理方程 【高频考点精讲】 1．高次方程 （1）一般地，最高次项的次数高于2次的方程，叫做高次方程。 （2）高次方程的解法 通过适当方法把高次方程转化为次数较低的方程求解。所以，解高次方程一般要降次，将高次方程转化成二次方程或一次方程。 2．无理方程 （1）方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。 （2）解无理方程关键是去根号，将其转化为整式方程。 （3）常用方法：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法。注意：用乘方法解无理方程，通常会产生增根，应当注意验根。 【热点题型精练】 7．（2023•南京二模）解方程．若设，则原方程变为关于y的方程是（　　） A．y2+2y+5＝0 B．y2+2y﹣5＝0 C．y2﹣2y﹣5＝0 D．y2﹣2y+5＝0 8．（2023•武汉二模）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（　　） A．1 B．3 C．1 D．3 9．（2023•上海）已知关于x的方程2，则x＝　 　． 10．（2023•扬州二模）若关于x的方程﹣2x+m4020＝0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为　 　． 11．（2002•盐城）解方程： 12．（2023•黄冈二模）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值． 【问题】解方程：x2+2x+45＝0． 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设t（t≥0），则有x2+2x＝t2 原方程可化为：t2+4t﹣5＝0 【续解】 三、根的判别式及根与系数的关系 【高频考点精讲】 1．根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与根的判别式（△＝b2﹣4ac）有如下关系： （1）当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；反过来，当方程有两个不相等的两个实数根时，△＞0。 （2）当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；反过来，当方程有两个相等的两个实数根时，△＝0。 （3）当△＜0时，方程无实数根；反过来，当方程无实数根时，△＜0。 2．根与系数的关系 （1）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么x1+x2＝，x1x2＝ （2）根与系数的关系可以解决以下问题 ①已知方程及方程的一个根，求另一个根及未