1.5.1.2正弦函数图像再认识 教案-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

正弦函数的图像与性质再认识 1、 教学目标 1、 会使用描点法绘制函数图像； 2、 学会使用五点作图法绘制正弦函数的图像； 3、 根据正弦函数的图像理解正弦函数的性质。 2、 教学重难点 重点：1、五点作图法绘制函数图像； 2、函数图像和性质的应用。 难点：正弦函数性质的应用 3、 教学设计 1、 复习回顾 （1） 正弦函数的概念：在弧度制下，对于，称为任意角的正弦函数， （2） 正弦函数的基本性质： 正弦函数的定义域均为：实数集 正弦函数的值域为 正弦函数的最小正周期为 正弦函数的单调性：对任意的，正弦函数在区间单调递增， 正弦函数在区间单调递减 （3） 正弦函数的诱导公式： 2、 新知概念 2、1描点法绘制正弦函数的图像 （1） 选取上的13个特殊的值描点：把轴上从到这一段分成12等份，如下： 它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周分成12等份，依次在坐标系中描点并用光滑的曲线连接起来得到正弦函数在上的函数图像。 （2） 从区间延伸到实数集：由诱导公式一可知，函数的周期为，函数的图像与的图像完全一致，因此正弦函数的图像可以通过不断的左右平移得到。 2、2正弦曲线 正弦函数的图像叫做正弦曲线，它是一条连续不断的曲线，沿着轴向左向右无限延伸。 2、3正弦函数的性质再认识 （1） 定义域：定义域为实数集； （2） 周期性：从正弦函数的图像可以看到，当自变量的值增加的整数倍时，函数值重复出现，即正弦函数时周期函数，最小正周期是； （3） 单调性：分析正弦函数图像的“上升”和“下降”趋势，得出正弦函数的单调性。先从图像观察一个周期内的内的变化情况，然后结合周期进行考虑。 正弦函数在每一个区间上单调递增； 正弦函数在每一个区间上单调递减； （注意强调集合的写法与区间写法的不同） （4） 最值：由单调性的分析过程可知， 设集合，当时，正弦函数取得最大值为； 设集合，当时，正弦函数取得最小值为； 由正弦函数的函数图像可知，正弦函数的值域为。 （5） 奇偶性：正弦曲线关于坐标原点对称，由诱导公式可知，正弦函数是奇函数。 （6） 对称性：思考：探索正弦函数的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ 对称轴：直线 对称中心： 2、4五点作图法 在精确度要求不高的情况下，有更简单的作图方法：五点作图法 在一个周期内，选择出五个关键点，如下： 根据这五个关键点，使用光滑的曲线，结合正弦曲线的性质就可以大致的描绘出正弦曲线的图像。 这种作图方法称为五点作图法。 对点练习 1、 画出下列函数的图像 （1） ； （2）； （3）； （4）； 解：采用五点作图法以及图像的变换进行处理 3、 例题讲解 例1、 求函数的单调递减区间。 解：由对数函数的定义可知：，所以： 所以函数的定义域为 内层函数：在上单调递增， 在上单调递减。 外层函数：，底数，因此在定义域为单调递减， 根据复合函数的单调性可知（同增异减）： 函数：的单调递减区间为 （注意：区间不能写成集合的形式） 例2、 比较下列各组三角函数值的大小 （1） 和 （2） 和 （3） 和和 （4） 和 解：借助正弦函数的图像进行处理 （1） 因为，且正弦函数在区间上单调递增，所以 （2） 因为：，且正弦函数在区间上单调递减，所以：，即 （3） 根据对称性和单调性进行比较。正弦函数的一个对称轴为，所以：该对称轴与的距离分别为：，且，所以： （4） ，因为：且正弦函数在区间上是增函数。所以，即。 例3、 利用正弦曲线，求满足的的集合。 解：画出正弦函数在一个周期内的图像，如下： 在一个周期内的取值范围是：或 扩展到整个周期： 的解集为： 例4、 讨论函数的图像与直线的交点个数。 解：在同一个平面直角坐标系中绘制两个函数的图像，如下： 综上所述：当或时，交点个数为 当时，交点个数为 当时，交点个数为 当或时，交点个数为 当时，交点个数为 例5、 方程在上有两个实数根，求实数的取值范围。 解：将方程根的问题转化为函数图像的交点问题。 在同一个平面直角坐标系中画出函数与直线的图像，如下： 由图可知：若有两个交点则，即 因此：方程在上有两个实数根，则的取值范围是： 例6、 求下列函数的周期 （1） ； （2）； （3）； （4）