1.4.2 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质 教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第二册

单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数基本性质 1、 教学目标 1、利用单位圆判断任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质； 2、利用单位圆判断定区间内正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性； 3、利用单位圆求解正弦函数、余弦函数和正切函数在定区间内的最值； 2、 教学重难点 重点：正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质 难点：定区间内正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性与最值问题 3、 教学设计 1、 情景导入 如图，设任意角的终边与单位圆交于，回答下列问题： （1） 写出任意角的正弦函数，余弦函数和正切函数的解析式？对应的定义域是什么？ （2） 根据单位圆的性质，当自变量角发生变化时，其终边与单位圆的交点的横坐标与纵坐标有怎样的变化？你能得出正弦函数、余弦函数和正切函数的最大值最小值吗？ （3） 与角终边相同的角怎样表示？根据正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，你能发现终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值和正切函数值有怎样的关系吗？ （4） 根据（3）的结论，你能判断出正弦函数、余弦函数和正切函数时周期函数吗？最小正周期分别是多少？ （设计意图：带领学生在单位圆中分析相关的性质和取值，方便总结） 2、 新知概念 2、1正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质 定义域：正弦函数余弦函数的定义域均为：实数集 正切函数的定义域：（结合轴线角的集合表示去与正切定义处理） 最值和值域：根据单位圆中的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义得到 （1）当时，正弦函数取得最大值，最大值为（终边相同的角） 当时，正弦函数取得最小值，最小值为（终边相同的角） 正弦函数的值域为 （2）当时，余弦函数取得最大值，最大值为（终边相同的角） 当时，正弦函数取得最小值，最小值为（终边相同的角） 余弦函数的值域为 （3）正切函数：根据其定义可以发现其没有最大值和最小值，值域为 周期性：正弦函数和余弦函数主要从终边相同的角去处理，正切函数结合定义处理 （1）终边相同的角正弦函数值相等：，正弦函数的最小正周期为 （2）终边相同的角余弦函数值相等：，余弦函数的最小正周期为 （3）正切函数值相等的情况：，正切函数的最小正周期为（从关于原点对称的角度考虑） 单调性：正弦函数和余弦函数的单调性结合角的终边余单位圆交点的坐标来观察，正切函数的单调性从定义来观察，一个比值关系。 问题引入： （1） 如图1，在单位圆中，当角由增加到时，点的纵坐标怎样变化？说明了正弦函数的哪个性质？ （2） 如图2，在单位圆中，当角由增加到时，点的纵坐标怎样变化？说明了正弦函数的哪个性质？ （3） 如图3，在单位圆中，当角由增加到时，点的横坐标怎样变化？说明了余弦函数的哪个性质？ （4） 如图4，在单位圆中，当角由增加到时，点的横坐标怎样变化？说明了余弦函数的哪个性质？ （5） 如图5，在单位圆中，当角由增加到时，点的纵坐标与横坐标的比值怎样变化？说明了正切函数的哪个性质？ （6） 如图6，在单位圆中，当角由增加到时，点的纵坐标与横坐标的比值怎样变化？说明了正切函数的哪个性质？ 归纳总结： 正弦函数的单调性：对任意的，正弦函数在区间单调递增， 正弦函数在区间单调递减 余弦函数的单调性：对任意的，余弦函数在区间单调递减， 余弦函数在区间单调递增 正切函数的单调性：正切函数只有单调递增区间，没有单调递减区间。 对任意的，正切函数在区间单调递增 对点练习 1、 若函数和函数在区间上都单调递增，则区间可以是（ ） A、 B、 C、 D、 3、 例题讲解 例1、 求函数的定义域。 解：对数的真数大于零，二次根式的被开方数不小于零 由题意可知，定义域满足不等式组：，即： 解得： 所以函数的定义域为： 例2、 求下列函数的单调区间，并求出其最大值和最小值以及对应的自变量的取值 （1） （2） 解：（1）根据单位圆可知：在上单调递增，在上单调递减。 所以当时，取得最大值，最大值为， 因为，所以当时，取得最小值为 （2）根据单位圆可知：在上单调递增，在上单点递减。 所以：与其单调性相反。上单调递减， 在上单点递增。 所以：当时，取得最小值，最小值为： 因为，所以当时，取得最大值，最大值为 例3、 求函数的最大值和最小值。 解：注意分析使用换元法，换元法注意新元范围 令，则变成 （变成了一个定区间内的最值问题：主要考虑对称轴） 对称轴为直线：，所以在区间上单调递增 所以当时，取得最小值为： 当时，取得最大值为：6 例4、 求下列各式的值 （1） （2） 解：（1）原式 （2）原式 例5、 比