1.4单位圆与任意角的三角函数定义 教案-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

单位圆与任意角的三角函数的定义 1、 教学目标 1、 了解锐角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义； 2、 借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义； 3、 掌握求任意角的正弦函数值、余弦函数值和正切函数值的方法； 4、 掌握任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的正负判断； 2、 教学重难点 重点：1、任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义； 2、求任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数值的值； 难点：根据单位圆或者点的坐标求解正弦函数、余弦函数和正切函数值； 3、 教学设计 1、 情景导入 如图所示，在中，，你能写出，，的表达式吗？根据前面弧度制的学习，已经将角推广到任意实数，那么对于任意角，应该如何表示，，呢？需要我们进一步的深入研究任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数？ （设计意图：从锐角的三角函数的定义来引导出任意角的三角函数的定义） 2、 新知概念 问题引入（铺垫）：如果引入圆心在原点的单位圆，你能直接用直角坐标系中角的终边与单位圆的交点坐标来表示锐角的正弦函数，余弦函数，正切函数吗？ 1、 单位圆中锐角的正弦函数、余弦函数和正切函数（PPT上不展示） 如图，对于锐角，角的终边与单位圆交于点，根据锐角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义可以知道，点的纵坐标是的正弦值，点的横坐标是的余弦值，是的正切值。对于每一个锐角，都有唯一的坐标与之对应，在弧度制的意义下： ，称是锐角的正弦函数，称是锐角的余弦函数，称是锐角的正切函数。 2、 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 如图，给定任意角，作单位圆，角的终边与单位圆的交点，点的纵坐标，横坐标都是唯一确定的，仿照上面的定义，把点的纵坐标叫作角的正弦值，把点的横坐标叫作角的余弦值，把纵坐标与横坐标的比值（即正弦值与余弦值的比值）叫作角的正切值。 总结：在弧度意义下，对于，称为任意角的正弦函数，称是任意角的余弦函数，称是任意角的正切函数。为了函数形式上的统一（自变量和因变量），将上述三个三角函数写成：正弦函数：；余弦函数：；正切函数：，其中，代表任意角，代表其取值。 （设计意图：使学生了解任意角的三角函数的定义，并灌输三角函数值和坐标之间的关系，并且可以从角的终边与单位圆交点的关系来分析其是否具有函数关系） 3、 利用角的终边上的任意一点的坐标计算角的三角函数（简单分析讲解） 问题引入：已知任意角终边上除原点外一点，求角的正弦值、余弦值和正切值。 分析：先考虑角的终边不在坐标轴上的情形。如图， （注意相似比指的是线段的长度比，因此需要加上绝对值） ①设角的终边与单位圆交于点，且； ②点在角的终边上，则； ③分别过点作轴的垂线，垂足为； ④易知，所以：，即 ⑤点和点在同一象限，所以的符号相同，所以：； ⑥同理得到：。 抽象概括：任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的另一个定义： 设任意角终边上除原点外一点，则，其中 （设计意图：帮助学生理解任意角的三角函数值的取值与终边上点的位置无关） 4、 正弦函数、余弦函数与正切函数的符号 由三角函数的定义可知，三角函数值的符号主要取决于点的横纵坐标的符号。 角的终边位置 正弦值： 余弦值： 正切值： 第一象限 正 正 正 第二象限 正 负 负 第三象限 负 负 正 第四象限 负 正 负 轴的非负半轴 0 1 0 轴的非正半轴 0 0 轴的非负半轴 1 0 无意义 轴的非正半轴 0 无意义 对点练习 1、 在单位圆中，，求角的正弦函数值，余弦函数值和正切函数值。 解：由题意可知，角的终边在第四象限，在单位圆中，设角的终边与单位圆的交点为点，根据勾股定理可得：，所以：， 。 2、 若角的终边过点，角的终边过点，求。 解：根据三角函数的第二个定义计算： 所以：。 3、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若是角终边上一点，且，求的值。 解：根据三角函数的第二个定义计算： 所以：，解得：，因为，所以： 所以：。 4、已知，判断角是第几象限角。 解：第二象限角（根据三角函数值的符号表来判断） 5、判断下列角的正弦值、余弦值、正切值的正负 （1） （2） （3） （4） 解：（1）是第二象限，正弦值为正，余弦值为负，正切值为负 （2） 是第二象限，正弦值为正，余弦值为负，正切值为负 （3） 是第三象限，正弦值为负，余弦值为负，正切值为正（注意是弧度制） （4） 是第四象限，正弦值为负，余弦值为正，正切值为负 6、已知，判断角的终边所在的象限。 解：因为，所以与异号，所以角的终边在第四象限或第二象限。 5、 常见特殊角的正弦函数值、余弦函数值和正切函数值（仅作展示）