专题3.6 圆的综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题3.6 圆的综合 【典例1】如图1，直线于点M，以上的点O为圆心画圆，交于点A，B，交于点C，D，，，点E为上的动点，交于点F，于点G，连接，，．    （1）若，求的长； （2）如图2，过A作交延长线于点H，连接、，是否存在常数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． （3）当点G在的右侧时，请直接写出面积的最大值． 【思路点拨】 （1）连接，根据垂径定理和三角形内角和定理求得，利用弧长公式即可求得答案； （2）连接，根据题意证明，得，，再证明，得，利用线段之间的关系即可求得答案； （3）面积的最大则点E到距离最大即可，利用垂径定理求解即可，但需验证点G在的右侧，当与重合时，作于，连接，利用等面积求得和的长，再证明，得，得，结合第二问得，可求得和，即可求得答案． 【解题过程】 （1）解：连接，如图1．    ∵垂直平分线段， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接，如图2，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，过点O作于N，延长交圆于点E，如图3，    此时，E到距离最大，面积最大， ∵，，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 验证：当与重合时，作于，连接，如图，    ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴当过点O时，G在右侧， ∴． 1．（2023上·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校联考阶段练习）如图，的弦，为所对优弧上一动点，且的外角的平分线交于点，直线与直线交于点． （1）求证：； （2）设，求关于的函数解析式； （3）若点在点的右侧，记、、的面积分别为，且． ①求的值； ②求证：为直径． 2．（2023上·浙江温州·九年级温州市第八中学校考期中）如图，在矩形中，，，点E为射线上一点，过点A，E，D作圆交射线于点F，连结，，且交于点G． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求的面积． 3．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”．如图1，在中，点D是边上的一点，连接，若，则称点D是中边的“好点”． （1）如图1，在中，，若点D是边的“好点”，且，则线段的长是______； （2）如图2，是的外接圆，点E在边上，连接并延长，交于点D，连接、、，若点E是中边的“好点”， ，求证：是的直径； （3）在（2）的条件下，点P是上一点，连接交于点Q，连接、，若，，，求的长． 4．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； （3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 5．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）已知内接于，，连接． （1）如图1，求证： （2）如图2，当时，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，过作交于点，交于点，连接、，若，，求的面积． 6．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）已知：是的直径，弦交于点E，且弧弧． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，点F为上的一点，连接，过点C作，垂足为点G，若点H为弧的中点，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点N，若，，求的半径． 7．（2023上·浙江金华·九年级统考阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，的延长线交于点，连接并延长交于点，连接．已知，， ，，． （1）求证：． （2）求的长． （3）点是中点，动点在上从点向终点匀速运动，同时动点在上从点向终点匀速运动．当点在点处时，点在点处，设，． ①求关于的函数表达式． ②连接，当直线与的某一边所在的直线垂直时，记垂足为点，直接写出的长度． 8．（2023上·浙江·九年级校联考阶段练习）已知半径为5的与平面直角坐标系交于O，B两点，二次函数的图像顶点C在上并经过O，B两点，且，如图1所示． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，连结，若点D为上一点，当时，求线段的长； （3）如图3，连结，若上有一点N，连结使，连结并与的延长线交于点M，求的值． 9．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）内接于，点为上一点，连接和，于点． （1）如图1，求证