专题3.42 圆（全章复习与巩固）（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题3.42 圆（全章复习与巩固）（知识讲解） 【学习目标】 1． 理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积； 5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 　　(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. 　　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 特别说明： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 　　 　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 　　(3)垂径定理及推论： 　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 　　 　⑤平行弦夹的弧相等. 特别说明： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角 　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 　　 　圆周角的性质： 　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 　　 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 特别说明： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P是否在⊙O上 　　设⊙O的半径为，OP=，则有 　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 特别说明： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 　　当 时，在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 　　设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. 　　(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. 　　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. 　　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 　　(1)切线的判定： 　　 　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 　　 　②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. 　　(2)切线的性质： 　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径. 　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心. 　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. 　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1．三角形的内心、外心、重心、垂心 　　(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. 　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的