专题3.5 切线的综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题3.5 切线的综合 【典例1】如图，延长的直径，交直线于点D，且，．射线DM从出发绕点D逆时针旋转，旋转角为α；同时，线段从出发绕点O逆时针旋转，旋转角为，直线与射线相交于点H，与直线相交于点F，其中，且． （1）当时，弧的长为________； （2）当时，判断的形状，并求它的周长； （3）的外心能否在边上，如果能，求出α的度数；如果不能，请说明理由； （4）若射线与有公共点，直接写出α的取值范围； （5）当时，求线段的长度． 【思路点拨】 （1）根据弧长公式可得答案； （2）首先证明出为等边三角形，进而得到，可证明出为等边三角形，然后根据三角形周长公式求解即可； （3）若的外心在边上，则边应为直角三角形的斜边，即转化为判断是否可以为90°的问题； （4）设射线与相切于点Q，连接，首先根据题意得到，进而得到，然后当射线旋转到再次与相切时，如解图②所示，此时，进而得到α的取值范围； （5）分类讨论，当点在右侧时，当点在左侧时，利用锐角三角函数表示出计算出．再利用角角相似得得出的长． 【解题过程】 （1）解：，， ，， ， 故答案为：； （2）如解图①， 当时，， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∵， ∴， ∴的周长为； （3）不能．理由如下： 若的外心在边上，则，如解图②所示． ∵， ∴与相切于点A． ∵点C是直线与的交点， ∴点C为切点，点A与点C重合． ∴，即， 解得，不合题意，舍去． ∴符合条件的不存在，即的外心不能在边DH上； （4）； 根据射线与有公共点，可判断有两个临界点即与圆的切点． 如解图③，设射线与相切于点Q，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 射线继续绕点D逆时针旋转，与有两个公共点，当射线旋转到再次与相切时，如解图②所示，此时． 综上所述，α的取值范围为． （5）情况1：当点H在右侧时， 如解图④，过点F作于点T， 设，由可得，， 又∵，即， ∴， ∴， ∴，，． ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 情况2：当点H在左侧时， 如解图⑤，过点F作，交的延长线于点K， 设，由， 同理可得，， ∴， ∴， ∴，． ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴，即， ∴． 综上所述，当时，的值为或． 1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，点在直线上，与直线相交所得的锐角为．点在直线上，，，垂足为点且，以为直径，在的左侧作半圆，点是半圆上任一点． 发现：的最小值为_______，的最大值为_______，与直线的位置关系是____． 思考：矩形保持不动，半圆沿直线向左平移，当点落在边上时，求半圆与矩形重合部分的周长和面积． 2．（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图，已知正方形边长为2．点O是边的中点，点E是正方形内一个动点，且． （1）连接，求的度数； （2）连接，若，求的长度； （3）将线段绕点D逆时针旋转后，得到线段，连接，线段长是否存在最小值，若无，说明理由；若有，求出这个最小值． 3．（2022上·江苏南京·九年级统考期中）如图，在中，为的直径，PA与相切于点A，点C在上，且． （1）求证：与相切； （2）过点C作，交于点D，若，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（2022上·广西南宁·九年级广西大学附属中学校考期中）如图，以的直角边为直径作⊙O，交斜边于点A，于点D，点F是的中点，连接与相交于点G，延长与的延长线相交于点P． （1）求证：是⊙O的切线； （2）求证：点G为的中点； （3）若，且⊙O的半径长为3，求的长度． 5．（2023上·河北石家庄·九年级校考期末）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，为两条对角线的交点，顶点在轴上，顶点的坐标为，.以上一点为圆心、为半径的圆恰与相切于点. （1）求点的坐标； （2）判断和的位置关系，并说明理由； （3）已知为与的交点，求的长. 6．（2022上·北京·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，存在半径为2，圆心为的，点P为上的任意一点，线段绕点P逆时针旋转90°得到线段，如果点M在线段上，那么称点M为的“限距点”． （1）在点，，中，的“限距点”为___________； （2）如果过点且平行于x轴的直线l上始终存在的“限距点”，求a的取值范围； （3）的圆心为，半径为1，如果上始终存在的“限距点”，请直接写出b的取值范围． 7．（2022上·北京东城·九年级东直门中学校考期中）对于与上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与交于点Q，且，则称点P为点A关于的“倍距点”．已知平面直角坐标系中，点A的坐标是． （1）如图1，点O是坐标原点，的半径是2，点P是点A关于的“倍距点” ①若点P在x轴的负半轴上，直接写出点P的坐标______； ②若点