5.1.1 数列的概念（3知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

5.1.1 数列的概念 课程标准 学习目标 （1）通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区别，理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特征。 （2）根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并理解通项公式的含义。 （3）知道数列的分类：有穷数列和无穷数列等。 （4）掌握数列的表示方法。 （5）通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规律。 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法，了解数列是一种特殊的函数。 知识点01 数列的概念 1、数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。 2、数列的通项公式 （1）数列的一般形式可以写成，，，……，，……，其中表示数列的第项（也称为的序号，其中为正整数，即），称为数列的通项。此时一般将整个数列简记为。 （2）一般地，如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用来表示，其中是关于的不含其它未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式。 【即学即练1】（2023·陕西宝鸡·高二校考期末）（多选）下列结论中正确的是（ ） A．数列的项数是无限的 B．数列通项公式的表达式不是唯一的 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列 知识点02 数列的分类及表示 1、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 2、数列的表示：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 【即学即练2】（2023·海南儋州·高二校考期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 知识点03 数列与函数的关系 1、数列与函数的关系 由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以，数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}． 2、数列的单调性：判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法： ⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法： ⅰ.当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列； ⅱ.当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 【即学即练3】（2022·高二课时练习）（多选）下列结论中正确的是（ ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点 C．数列的项数是无限的 D．数列是递增数列 【题型一：数列的概念及辨析】 例1．（2023·高二课时练习）数列的通项公式是，，则它的图象是（ ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 变式1-1．（2023·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ） A．数列可以用图象来表示 B．数列的通项公式不唯一 C．数列中的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示 变式1-2．（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 变式1-3．（2023·高二课时练习）（多选）下列说法不正确的是（ ） A．数列可以表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为1＋ D．数列可记为 变式1-4．（2023·云南曲靖·高二曲靖市民族中学校考期中）下列说法正确的是（ ） A．数列与是相同的 B．数列可以表示为 C．数列与是相同的数列 D．数列的第项为 【方法技巧与总结】 掌握数列的概念辨析解题技巧需要明确数列的定义、数列是一种特殊的函数。