2.7.1 实际问题中导数的意义课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.7.1 实际问题中导数的意义 新授课 1.能建立实际问题的函数模型，进一步理解导数的概念，能分析实际问题中导数的意义. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 情境导入 导数来源于生活，服务于生活.实际生活中，有许多词语与导数有关，如物理上的功与功率，线速度，加速度，还有生活中常听说的降雨强度、边际成本等.这节课，我们就来研究一下实际问题中导数的含义. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点1：功与功率中导数的意义 1.功率: 在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是瓦特. 实际问题中导数的意义 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1：如图，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位:J)是时间t(单位:s)的函数，设这个函数可以表示为 W=W(t)=t3-6t2 +16t. (1)求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求W'(1)，W'(2)，并解释它们的实际意义. 解： (1)当t从1s变到3s时，功W从W(l) =11 J变到W(3) = 21 J,此时功W关于时间t的平均变化率为 它表示从1 s到3 s这段时间内,这个人平均每秒做功5 J. 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)求W'(1)，W'(2)，并解释它们的实际意义. (2)首先求W'(t).根据导数公式表和导数的运算法则，可得 W'(t) = 3t2-12t+16. 于是W'(1)=7 J/s,W'(2)=4 J/s. W'(1)和W'(2)分别表示t=1 s和t=2 s时，这个人每秒做的功为7 J和4 J. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2.降雨强度: 在气象学中,通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度.它是反映一次降雨大小的一个重要指标. 知识点2：降雨强度中导数的意义 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2：下表为一次降雨过程中一段时间内记录的降雨量数据. 显然，降雨量y（单位:mm）是时间t（单位:min）的函数，用y=f(t)表示. （1）分别计算当t从0 min变到10 min,从50 min变到60 min时，降雨量y关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义； （2）假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为f(t) = ，求f'(40)并解释它的实际意义. 新课讲授 学习目标 课堂总结 它表示从0 min到10 min这段时间内,平均每分钟降雨量为1 mm. 当t从50 min变到60 min时,降雨量y从22 mm变到24 mm,此时,降雨量y关于时间t的平均变化率为 它表示从50 min到60 min这段时间内,平均每分钟降雨量为0.2 mm. l>0.2,说明这次降雨过程中，刚开始的10 min比后10 min的雨下得大. 解：（1）当t从0 min变到10 min时，降雨量y从0mm变到10 mm,此时,降雨量y关于时间t的平均变化率为 新课讲授 学习目标 课堂总结 （2） 将t=40代入f'(t)= f'(40)表示当t=40 min时，降雨量y关于时间t的瞬时变化率（即瞬时降雨强度）为0.25 mm/min. 在气象学中，通常把在单位时间(如1 h,l d等)内的降雨量称作降雨强度.它是反映一次降雨大小的一个重要指标，因此，用气象学的知识解释，0 min到10 min这段时间内的平均降雨强度是1 mm/min,而50 min到60 min这段时间内的平均降雨强度为0.2 mm/min. 新课讲授 学习目标 课堂总结 边际成本:在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成本. 边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本. 知识点3：边际成本中导数的意义 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：（1）当x从100 m2变到120 m2时，建设成本y关于建筑面积x的平均变化率为 例3：建造一幢面积为x（单位：m2）的房屋需要成本y（单位：万元），y与x的关系为 . （1）当x从100 m2变到120 m2时，建设成本y关于建筑面积x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？（结果精确到0.001） （2）求f'(100)并解释它的实际意义. （万元/m2）. 新课讲授 学习目标 课堂总结 （2） 它表示在建筑面积从100 m2变到120 m2的过程中，成本平均约增加1050元. 于是 （万元/m2）. f'(100)表示当建筑面积为100m