2.6.2 函数的极值 课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.6.2 函数的极值 新授课 1.理解极大（小）值的概念，结合具体函数理解函数的极值与导数的关系. 2.掌握求解较简单函数极值的步骤. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点1：函数的极值点、极值 如图（2）,在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值. 如图（1），在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值. 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 极值是函数的一种局部性质，如图,x1,x3,x5都是函数y=f(x)的极大值点,x2，x4都是函数y=f(x)的极小值点.从图中可以看出，函数的某些极大值有时候比其他极大值小，如f(x1)＜f(x3),甚至可能比一些极小值还小，如f(x1)＜f(x4). 新课讲授 学习目标 课堂总结 若函数y=f(x)在区间(a,x0)内单调递增,在区间(x0,b)内单调递减，则x0是极大值点,f(x0)是极大值. 若函数y=f(x)在区间(a,x0)内单调递减,在区间(x0,b)内单调递增，则x0是极小值点,f(x0)是极小值. 极大值与极小值 归纳总结 新课讲授 学习目标 课堂总结 利用前面得出的导数与函数单调性的关系，观察发现:图1的极大值问题可以通过表1表示岀来； 图1 表1 知识点2：求函数的极值点的步骤 x (a,x0) x0 (x0,b) fʹ(x) + 0 - y=f(x) （减少） （增加） 极大值 新课讲授 学习目标 课堂总结 图2的极小值问题可以通过表2表示岀来； 图2 表2 x (a,x0) x0 (x0,b) fʹ(x) - 0 + y=f(x) （减少） （增加） 极小值 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1：求函数f(x)=2x3-3x2 -36x+16的极值点. 解：f'(x)= 6x2-6x-36 = 6(x+2)(x-3). 通过解方程f'(x)=0得到了两个实数根x1=-2和x2=3. 当x<-2时，f'(x)＞0,函数f(x)在区间（-∞,-2）内单调递增；当-2<x<3时,f'(x)＜0,函数f(x)在区间（-2,3）内单调递减，因此,x1=-2是函数f(x)的极大值点. 当-2<x<3时,f'(x)＜0,函数在（-2,3）内单调递减；当x>3时,f'(x)>0,函数f(x)在区间（3, +∞）内单调递增， 所以x2=3是函数f(x)的极小值点. 判断过程可以通过表格直观地反映出来. 新课讲授 学习目标 课堂总结 求函数极值点的步骤： 一般情况下,在极值点x0处，函数y=f(x)的导数f'(x0)=0.因此,可以通过如下步骤求出函数y=f(x)的极值点: 1.求出导数f'(x). 2.解方程f'(x)=0. 3.对于方程f'(x)=0的每一个实数根x0,分析f'(x)在x0附近的符号（即f(x)的单调性），确定极值点： 归纳总结 新课讲授 学习目标 课堂总结 （1）若f'(x)在x0附近的符号“左正右负”，则x0为极大值点； （2）若f'(x)在x0附近的符号“左负右正”，则x0为极小值点； （3）若f'(x)在x0附近的符号相同，则x0不是极值点. 设x0是f(x)的一个极值点，并求出了f(x)的导数f'(x0),则f'(x0)=0.反之不一定成立. 例如，对于f(x)=x3,虽然f'(0)=0,但是x=0不是极值点. 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：f'(x)=9x2-3. 根据x1,x2列表,分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点. 例2：求函数f(x)=3x3-3x+1的极值，并画出函数的大致图象. 解方程 f'(x)=0,得x1=- ,x2= . 根据上表可知，x1=- 为函数f(x)=3x3-3x+1的极大值点，函数f(x)在该点的取值（极大值）为f(- )=1+ ;x2= 为函数f(x)的极小值点，函数f(x)在该点的取值（极小值）为f( )=1- .函数f(x)的大致图象如图. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 求下列函数的极值. （1）y=3x-x3； （2）y=x4-6x3+21x2-6. 解：（1）y'=3-3x2. 解方程y'=0,得x1=-1,x2=1. x1=- 1为函数y=3x-x3的极小