1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 新授课 1.借助单位圆理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义. 2.己知角α终边上一点，会求sin α，cos α的值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 回顾：初中我们学过，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin α，cos α，tan α分别叫做锐角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？ A B C α a b c sin α＝ cos α＝ tan α＝ 钝角三角形中各个角的正弦、余弦、正切呢？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(u，v)，根据初中所学正弦、余弦的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α？ 这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ x y O A(1，0) P α sin α＝v，cos α＝u M 新课讲授 学习目标 课堂总结 如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，在弧度意义下，对于α∈R，称v=sin α为任意角α的正弦函数，u=cos α为任意角α的余弦函数. 概念生成 x y O A(1，0) P α M 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，求角α的正弦函数值、余弦函数值. 解：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情况，设角α的终边与单位圆交于点P(如图)，则点P的坐标为(cos α，sin α)，且OP＝1. 点Q(x，y)在角α的终边上，则OQ＝ . x y O P α Q 分别过点P，Q作x轴的垂线PM，QN垂足为M，N， N M 易知△POM∽△QON，所以 ， 即 ， 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，求角α的正弦函数值、余弦函数值. 因为点P和点Q在同一象限，所以sin α和y的符号相同， 当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立. 同理 . 于是得到 ， x y O P α Q N M 新课讲授 学习目标 课堂总结 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则 总结归纳 其中 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考辨析：判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”). （1）角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.( ) （2）若角α终边过点（1，3），则 ( ) （3）对于任意角α，sin α，cos α都有意义.( ) × √ √ 注意：对任意一个给定的角α，它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆只有唯一的交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 在单位圆中， （1）画出角α； （2）求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解：（1）如图以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 ，与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点M，于是 即为所作的角. x y O P α M 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 在单位圆中， （1）画出角α； （2）求角α的正弦函数值和余弦函数值. （2）设点P(u，v)，则 x y O P α M 所以 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考交流：在单位圆中，画出下列各特殊角，求各角终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表. α 0 π 2π v＝sin α u＝cos α 0 1 0 1 1 0 -1 0 0 -1 观察表格中的数据，你能发现函数v＝sin α和u＝cos α的变化有什么特点吗？ u＝cos α在[0，π]上单调递减，[π，2π]上单调递增. v＝sin α在[0， ]、[ ，2π]上单调递增，[ ]上单调递增. 新课讲授 学习目标 课堂总结 1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α的值为 . 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 什么是任意角的正弦函数、余弦函数？（从定义、坐标角度） 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$