专题三 轴对称--考点4 作辅助线构造等腰三角形 专项训练 2023—2024学年北师大版数学八年级上册

专题三 轴对称 考点4 作辅助线构造等腰三角形 考法1 作平行线构造等腰三角形 典例精析 [例]如图，点E在△ABC的边AC的延长线上，AB＝AC，点D在边AB上，DE交BC于点F，DF＝EF.求证：BD＝CE 命题点 ①等腰三角形的性质；②平行线的性质；③全等三角形的判定与性质. 规范解答 证明：方法1如图，过点D作DG∥CE，交BC于点G，则∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB. 在△DGF和△ECF中，， ∴△DGF≌△ECF（ASA），∴DG＝CE. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠DGB， ∴BD＝DG， ∴BD＝CE. 方法2 如图，过点E作EG∥AB，交BC的延长线于点G，则∠B＝∠G. 在△BFD和△GFE中， ， ∴△BFD≌△GFE（AAS），∴BD＝GE. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠GCE. ∴∠G＝∠B，∴∠GCE＝∠G， ∴GE＝CE，∴BD＝CE. 方法归纳 （1）作腰的平行线构造等腰三角形，如图1、图2.若AB＝AC，DE∥AC，则△BDE为等腰三角形. （2）作底边的平行线构造等腰三角形，如图3、图4.若AB＝AC，DE∥BC，则△ADE为等腰三角形. 针对训练 1.如图，在△ABC中，∠A＝60°，点E在边AC的延长线上，点D在边AB上，DE交BC 于点F，DF＝EF，BD＝CE.若ED⊥AB，BD＝1，则BC＝（ ） 2.如图，点E在△ABC的边CB的延长线上，点D在边AC上，DE交AB于点F，DF＝EF，AD＝BE.求证：△ABC 是等腰三角形. 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC 的延长线上，且CE＝BD，连接 DE交BC 于点F. （1）求证：DF＝EF （2）过点D作DG上BC，垂足为G.求证：BC＝2FG. 4.如图，△ABC是等边三角形，点 D在AC上，点E在BC 的延长线上，且BD＝DE. （1）若D是AC 的中点，如图1，则线段AD与CE 的数量关系是 （2）若D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE 的数量关系，并证明你的结论. （3）若点D在线段AC 的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果不成立，请说明理由 考法2 利用角平分线及垂线构造等腰三角形 典例精析 [例]（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D，E，CD与AE 交于点F.求证：AF＝2CE. （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E.求证：AE＝2CD 命题点 ①全等三角形的判定与性质；②等腰三角形的性质. 规范解答 证明：（1）∵CD⊥AB，AE⊥BC， ∴∠ADF＝∠CDB＝∠CEF＝90° ∵∠AFD＝∠CFE，∴∠DAF＝∠DCB. ∵∠BAC＝45°， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°， ∴DA＝DC. 在△ADF和△CDB 中，， ∴△ADF≌△CDB（ASA）， ∴AF＝CB. ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴.BC＝2CE，∴AF＝2CE. （2）延长AB，CD交于点G（图略）. ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD. ∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°. 在△ADC和△ADG中，， ∴△ADC≌△ADG（ASA）， ∴CD＝GD，即 CG＝2CD. ∵∠BAC＝45°，AB＝BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠CBG＝90°， ∴∠G＋∠BCG＝90°. ∴∠G＋∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠BCG. 在△ABE和△CBG 中，， ∴△ABE≌△CBG（ASA）， ∴AE＝CG＝2CD. 方法归纳 利用角平分线及垂线构造等腰三角形 如图，已知AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，延长BD交于AC于点E，则△ABE是等腰三角形， 延长BD交AC于点E 延长BD，AC交于点E 针对训练 1.如图，已知＝24，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则＝（ ）。 2.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠CAB＝90°，D是AC上一点，CE⊥BD交BD 延长线于点E，且CE＝ BD.求证：BD是∠ABC 的平分线. 3.如图，在△ABC 中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC交BC于点 D，BE⊥AD于点E。 （1）若∠BAC＝60°，求∠ADB 的度数； （2）求证：BE＝ （AC－AB）. 考法3 利用倍角关系间接构造等腰三角形 典例精析 [例]如图，在△ABC 中，∠B是锐角，且∠B＝2∠C，AD是边BC上的高.求证：AB＋BD＝DC. 命题点 ①等腰三角形的判定和性质；②线段的垂直