4.6.1函数零点与方程的解-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

4.6.1函数零点与方程的解 题型1求函数零点 3 题型2判断函数零点所在区间 6 题型3判断函数零点个数 7 ◆类型1直接法或方程法 8 ◆类型2零点存在性定理 8 ◆类型3图像法 9 ◆类型4利用奇偶性对称性判断函数零点个数 9 题型4根据零点求参数取值范围 11 ◆类型1利用零点存在性定理 11 ◆类型2图像法 11 题型5零点和差积商问题 12 题型6二次函数零点问题 14 题型7复合函数零点问题 14 知识点一.函数的零点 一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 注意：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 知识点二.二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 知识点三.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 知识点四.函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点 方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标． 知识点五.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 补充：1.平移变换 2.对称变换 ①y＝f(x)的图像y＝－f(x)的图像； ②y＝f(x)的图像y＝f(－x)的图像； ③y＝f(x)的图像y＝－f(－x)的图像； ④y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像． 3.翻折变换 ①y＝f(x)的图像y＝|f(x)|的图像； ②y＝f(x)的图像y＝f(|x|)的图像 题型1求函数零点 【方法总结】 判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 【例题1】（2021·高一课时练习）下列图象对应的函数中没有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数零点的定义结合函数图象观察即可. 【详解】函数图象与x轴交点的横坐标即函数的零点． 故选:B． 【变式1-1】1. （2018上·全国·高一专题练习）求下列函数的零点： （1）；                         （2）； （3）；                             （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）；（5）． 【分析】(1)直接令y=0解方程即得函数的零点. (2)直接令y=0解方程即得函数的零点. (3)直接令y=0解方程即得函数的零点. (4)直接令y=0解方程即得函数的零点. (5)分两种情况讨论，令y=0解方程即得函数的零点. 【详解】（1）令，即，解得，故所求函数的零点为． （2），令，解得，故所求函数的零点为． （3）令，解得，故所求函数的零点为3． （4）．令，解得，故所求函数的零点为． （5）当时，令，得，符合题意；当时，令，得，符合题意，故所求函数的零点为． 【点睛】（1）本题主要考查函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数的零点常用解方程的方法. 【变式1-1】2. （2023·高一课时练习）若函数的一个零点是1，则它的另一个零点是 ． 【答案】3 【分析】根据零点的定义，求解方程的根即可. 【详解】由，所以令或，故另一个零点为3 故答案为：3 【变式1-1】3. （2020·全国·高一专题练习）已知函数 (≠0)的零点为3，求函数的零点. 【答案】0和－ 【解析】根据f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3可得b＝3a.再代入函数g(x)＝bx2＋ax求解即可. 【详解】由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a. 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1). 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0， 解得x＝0或x＝－. 所以函数g(x)的零点为0和. 【点睛】本题主要考查了函数零点的计算,属于基础