2014-2015学年高中数学 3.2任意角的三角函数（3份）课件 湘教版必修2（3份打包）

1．理解诱导公式的推导方法，体会数学知识的“发现”过程． 2．掌握诱导公式，能用它们解决有关问题． 3.2.3 诱导公式 * 角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系 自学导引 1． 2.角α与－α的三角函数间的关系 * 3．角α与π＋α的三角函数间的关系 4．角α与π－α的三角函数间的关系 * * 5．角α与±α的三角函数间的关系 * 自主探究 * * sin2α＋3cos2α＝2，得到sin2 α＝，即sin α＝±.因为α∈(－，)，所以α＝或α＝－.将α＝代入cos α＝cos β，得cos β＝，由于β∈(0，π)，所以β＝，将α＝－代入sin α＝sin β.得sin β＝－，由于β∈(0，π)．这样的角β不存在．综上可知，存在α＝，β＝使等式同时成立． sin 210°＝ (　　)． 预习测评 1． 答案　B * A. B．－ C. D．－ 解析　sin 210°＝sin(180°＋30°) ＝－sin 30°＝－. A．sin 3－cos 3 B．cos 3－sin 3 C．±(sin 3－cos 3) D．以上都不对 2. 答案　A * 化简的结果是 (　　)． 解析　∵sin 3>0，cos 3<0，∴sin 3－cos 3>0， ∴原式＝＝＝|sin 3－cos 3|＝sin 3－cos 3. 3. * 如果cos α＝，且α是第四象限角，那么cos＝______． 解析　∵cos α＝，α是第四象限角， ∴sin α＝－ ＝－， ∴cos＝－sin α＝－＝. 答案　 cos 135°＝________. 4． * 解析　cos 135°＝cos (90°＋45°) ＝－sin 45°＝－. 答案　－ 诱导公式法则 kπ±α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名函数值，前面添上一个把α看成锐角时原来函数值的符号．简记为：“函数名不变，符号看象限”． 关于诱导公式需要注意的问题 (1)公式(一) ①公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等． ②公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°) 角的三角函数值． (2)公式(二) 名师点睛 1． 2． * 利用公式(二)，我们可以用正角的三角函数表示负角的三角函数． (3)公式(三)(四) 由公式(一)和(三)(四)可以看出，角α与α加上π的偶数倍的所有三角函数值相等；角α与α加上π的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数；角α与α加上π的整数倍的正切值相等．即 * * 因为任意角都可化为α＋kπ的形式，并使|α|≤，所以利用公式(一)(二)(三)(四)，我们可以把任意角的三角函数求值问题转化为0至之间的角的三角函数求值问题． (4)公式(五)(六) 我们知道，任意一个角都可表示为k·＋α其中|α|≤的形式．这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到之间角的三角函数求值问题． 求下列各式的值． 题型一　给角求值 【例1】 典例剖析 * (1)sin ·cos ·tan π； (2)cos (－2 640°)＋sin 1 665°. 解　(1)原式＝sin ·cos·tan ＝sin ·cos ·tan ＝sin·cos·tan ＝··tan ＝··1＝. 点评　此类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值． * (2)原式＝cos [240°＋(－8)×360°]＋sin(225°＋4×360°) ＝cos 240°＋sin 225° ＝cos(180°＋60°)＋sin(180°＋45°) ＝－cos 60°－sin 45°＝－. 已知α是第三象限角，且 1． * f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若cos＝，求f(α)； (3)若α＝－1 860°，求f(α)． 解　(1)f(α)＝ ＝＝＝－cos α. * (2)由cos＝得cos＝， ∴sin α＝－. 又∵α是第三象限角，∴cos α＝－. ∴f(α)＝－cos α＝. (3)当α＝－1 860°时，f(α)＝－cos α＝－cos(－1 860°) ＝－cos 1 860°＝－cos(5×360°＋60°)＝－cos 60°＝－. 题型二　给值求值 【例2】 * 已知cos＝m，|m|≤1， 求cos，sin的值． 解　cos＝cos ＝－cos＝－m， sin＝sin ＝cos＝m. 点评　观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键． * 2. * 已知sin(3π＋α)＝，求： 解　sin α