2014-2015学年高中数学 3.3三角函数的图像与性质（4份）课件 湘教版必修2（4份打包）

理解并掌握正切函数的奇偶性、单调性、值域等相关性质． 3.3.2 正切函数的图象与性质 * 正切曲线 正切函数的图象叫_________，如下图所示： 自学导引 1． 正切曲线 正切函数的性质 2． * (1)定义域：{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}． (2)值域：R. (3)奇偶性：正切函数为奇函数，f(－x)＝－f(x)，即 tan(－x)＝－tan x. * (4)单调区间：单调递增区间为，k∈Z. (5)对称性：正切曲线是中心对称图形，对称中心， k∈Z.与x轴的交点的横坐标为kπ，k∈Z.正切曲线没有对称轴． 自主探究 * 由正切函数的性质可知，正切函数没有单调递减区间，并且在每个区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)都是单调递增的，那么是否可以说正切函数在这个定义域内是单调递增的呢？ 提示　不可以． 我们举个例子说明一下：例如，取x1＝，x2＝，则x1＜x2，但是f(x1)＝1，f(x2)＝－1，显然，f(x1)＞f(x2)，这说明正切函数在这个定义域内并不是单调递增的． * 其实，我们观察正切函数的图象可以发现，它由无数条曲线组成，而每一条曲线都是呈上升的趋势，但整个图象是有间断的．这说明，在每一个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)都是单调递增函数与在定义域内单调递增的含义是不同的． f(x)＝tan 3x是 (　　)． A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 答案　A 预习测评 1． * 2. 答案　C * 函数f(x)＝tan的单调增区间为 (　　)． A.，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析　由kπ－<x＋<kπ＋知：kπ－<x<kπ＋，k∈Z，故选C. A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 3. 答案　B * 函数y＝(－≤x≤且x≠0)的值域是 (　　)． 解析　∵－≤x≤且x≠0， ∴－1≤tan x≤1，且tan x≠0， 令tan x＝t，则y＝(如右图)， ∴y≤－1或y≥1. 函数y＝tan x的图象的一个对称中心坐标为 (　　)． 4. 答案　D * A. B. C. D. 正切函数性质的理解 (1)学习正切函数的性质，应类比正弦函数和余弦函数，注意有哪些相同与不同之处，既便于理解记忆又可避免混淆． 名师点睛 1． * (2)正切函数y＝tan x，x∈(k∈Z)是单调增函数，但不能说函数在其定义域内是单调增函数． (2)正切曲线不但关于正切曲线与x轴的交点中心对称，而且在x轴上正切函数无意义的点也是正切曲线的对称中心． 2. * 正切曲线 (1)作正切曲线，既可以用几何法，利用单位圆中的正切线来作图，又可以用“三点两线法”．这里三个点为(kπ，0)、、，两线为直线x＝kπ＋、直线x＝kπ－(其中k∈Z)． 题型一　正切函数的性质 【例1】 典例剖析 * 求函数y＝tan 的单调区间． 解　y＝tan ＝－tan ， 由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－<x<2kπ＋π，k∈Z， ∴函数y＝tan 的单调递减区间是 ，k∈Z. * 点评　求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，只需令kπ－<ωx＋φ<kπ＋(k∈Z)解出x即可，但当ω<0时，应先利用诱导公式将其化为正的，同时还要注意A的正负对单调性的影响． 1. * 求函数y＝tan (3x－)定义域、值域，并求出它的奇偶性、单调区间． 解　定义域{x|x∈R且x≠＋，k∈Z}，值域R.非奇非偶函数，单调递增区间(－，＋)(k∈Z)． 利用正切函数的单调性比较下列函数值的大小： 题型二　正切函数单调性的应用 【例2】 * tan与tan. 解　∵tan＝tan＝tan， tan＝tan＝tan， 又函数y＝tan x在上是增函数， 而－<－<<. ∴tan<tan，即tan <tan. * 点评　比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为，k∈Z.故在和上都是增函数． 比较tan 1，tan 2，tan 3的大小． 答案　tan 2<tan 3<tan 1 2． * 利用正切函数的图象求满足下列条件的x的集合， tan x≥1. 题型三　正切曲线的应用 【例3】 点评　解三角不等式tan x>m(或<m)，可以画出函数的图象，根据函数的图象写出不等式的解集． * 解　作出正切函数y＝tan x， x∈的图象，如图所示． 由图形可以看到，满足条件的x的集合为 ，k∈Z. 3. 答案　D * 不等式tan x<－的