6.2.2 直线上向量的坐标及其运算课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6.2 向量基本定理与向量的坐标 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 新授课 1. 掌握直线上向量的坐标的概念； 2. 掌握用两种方法求解直线上向量的坐标； 3. 掌握直线上向量的坐标运算，会求两点间距离，会求线段的中点坐标. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：直线上向量的坐标 给定一条直线 l 以及这条直线上一个单位向量 ，对于直线 l 上的任意一个向量 ，一定存在唯一的实数 x，使得 = x，此时，x 称为向量 的坐标. 如果直线上向量 的坐标为 x，则 x 既能刻画 的模，也能刻画向量 的方向；此时 || = |x| = |x||| = |x|； 而且：当 x > 0 时： 的方向与 e 的方向相同； 当 x = 0 时： 是零向量； 当 x < 0 时： 的方向与 e 的方向相反. 即：在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定. 新课讲授 学习目标 课堂总结 O 1 x 如图，在直线 l 上指定一点 O 作为原点，以 的方向为正方向， 的模为单位长度建立数轴，对于 l 上的任意一个向量 ，把它的始点平移到原点 O，那么 的终点对应的数就是向量 的坐标. 上图中，向量 的坐标为 – 4. （注： 的坐标为 1 ） 新课讲授 学习目标 课堂总结 如果数轴上一点 A 对应的数为 x (记为 A(x)，也称点 A 的坐标为x)，那么向量 对应的坐标为 x；反之，这一结论也成立. 因此，为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种： （1）将向量用单位向量表示出来； （2）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. 归纳小结 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1 ：如图所示，求出直线上向量 ， 的坐标. 解：因为 的始点在原点，因此由 的终点坐标可知 的坐标为 2； 因为 = – 3，所以 的坐标为 – 3. x O 1 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：直线上向量的运算与坐标的关系 思考：直线上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 假设直线上两个向量 ， 的坐标分别为 x1，x2，即 = x1， = x2 ； （1）当 = 时，有 x1 = x2，由 是单位向量可知 x1 = x2； 即：直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等. （2）因为 + = x1 + x2 = (x1 + x2)，所以 + 的坐标是 x1 + x2， 即：直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和. （3）如果 u，v 是两个实数，那么： u + v 的坐标为 ux1 + vx2；u – v 的坐标为 ux1 – vx2. 概念讲解 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2 ： 已知直线上向量 的坐标为 – 2， 的坐标为 5，求下列向量的坐标： （1） + ； （2）； （3） . 解：（1） + 的坐标为 – 2 + 5 = 3； （2） 的坐标为 ×5 = 1； （3） 的坐标为 (– 2)×(– 2) – 3×5 = – 11. 方法小结：利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，由数轴上任意两点的坐标，可求数轴上两点间的距离，以及它们中点的坐标. 新课讲授 学习目标 课堂总结 数轴上两点之间的距离公式： 设 A(x1)，B(x2) 是数轴上两点，O为坐标原点，则，， 因此 = – = ，所以 . 归纳小结 说明：由 = ，可知 的坐标为 x2 – x1， 即：直线上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标. 新课讲授 学习目标 课堂总结 数轴上的中点坐标公式： 设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，M(x)是线段AB的中点，则 ， 又因为 ，因此 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3：设数轴上两点 A，B 的坐标分别为3，–7，求： （1）向量 的坐标，以及 A 与 B 的距离； （2）线段 AB 中点的坐标. 解：（1）由题意得 的坐标为 3， 的坐标为 – 7， 因为 = –