6.2.2 直线上向量的坐标及其运算（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.本节课的重点是理解直线上向量坐标的含义及运算. 2.本节课的难点是能运用直线上向量的坐标公式进行相关的计算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　直线上向量的坐标 逐点清(二) 直线上向量的运算与 坐标的关系 逐点清(三)　数轴上两点间的距离、 中点坐标 4 课时跟踪检测 逐点清(一) 直线上向量的坐标 01 多维理解 1.直线上向量a的坐标 给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在______的实数x,使得a=____,此时,x称为向量a的坐标. 唯一 xe 2.直线上向量坐标的直观解释 名称 定义 数轴 在直线l上指定一点O作为原点,以e的方向为正方向,e的模为单位长度建立数轴 向量a 的坐标 对于l上的任意一个向量a,如果我们把它的始点平移到原点O,那么a的终点对应的数就是向量a的坐标 |微|点|助|解| (1)x既能刻画a的模,也能刻画向量a的方向. (2)|a|=|xe|=|x||e|=|x|.①当x>0时,a的方向与e的方向相同;②当x=0时,a是零向量;③当x<0时,a的方向与e的方向相反.特别地,零向量的坐标是0. (3)向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同,当且仅当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同. 1.若e是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量a=-e,则(　　) A.向量a的坐标为 　 B.向量a的坐标为e C.向量a的坐标为- 　 D.向量a的坐标为-e 解析:根据直线上向量坐标的定义知,向量a的坐标为-. 微点练明 √ 2.如图所示,向量,的坐标分别是(　　) A.-3,2 B.-3,4 C.2,-2 D.2,2 解析:由数轴上向量坐标的定义可知=2e,=-2e,所以向量, 的坐标分别是2,-2. √ 3.已知e是直线l上的一个单位向量,向量a与b都是直线l上的向量,分别在下列条件下写出a与b的坐标: (1)a=3e,b=-6e; 解:∵a=3e,b=-6e,∴a的坐标为3,b的坐标为-6. (2)a=-e,b=2e. 解:∵a=-e,b=2e,∴a的坐标为-,b的坐标为2. 逐点清(二) 直线上向量的运算 与坐标的关系 02 多维理解   文字语言 符号语言 直线上两个 向量相等 直线上两个向量相等的充要条件是它们的__________ 设a=x1e,b=x2e,则a=b⇔x1=x2 直线上两个 向量和的坐标 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的__________ 设a=x1e,b=x2e,则a+b=(x1+x2)e 坐标的和 坐标相等 微点练明 √ 1.已知直线上向量a,b的坐标分别为-2,2,则向量a+b的坐标为(　　) A.1 B.-1 C.0 D.4 解析:因为向量a,b的坐标分别为-2,2,所以向量a+b的坐标为 -2+2×=-1. 2.已知A,B都是数轴上的点,O为原点,A(3),B(-2),则3+4的坐标为 (　　) A.17 B.1 C.-1 D.-17 解析:3+4的坐标为3×3+4×(-2)=1.故选B. √ 3.已知直线上的向量a与向量b,向量a的坐标为-10,向量a与向量b满足关系2a-3b=4,求: (1)向量b的坐标; 解:设直线上向量b的坐标为x,由题意可得2×(-10)-3x=4, 解得x=-8,即向量b的坐标为-8. (2)a+2b的坐标. 解:由(1)知a+2b=-10+2×(-8)=-26,所以a+2b的坐标为-26. 逐点清(三)　数轴上两点间的 距离、中点坐标 03 多维理解 数轴上两点之间的距离公式 设A(x1),B(x2)是数轴上两点,则AB=||=_________ 数轴上的中点坐标公式 设A(x1),B(x2),M(x)是线段AB的中点,则x=__________ |x2-x1| |微|点|助|解| 　　求数轴上两点间距离的方法:要先求数轴上向量的坐标,再根据距离公式求解. 微点练明 1.已知数轴上两点A,B,A(1),且A,B的中点坐标为-3,则点B的坐标是　　　　,||=　　　　.  解析:设B(x),由线段AB的中点坐标为=-3,得x=-7,即点B的坐标为-7.故||=|-7-1|=8. -7 8 2.已知a,b是直线l上的向量,向量a-3(b+a),b-a的坐标分别为-16,2,求|a-3b|的值. 解:设a的坐标为x,b的坐标为y. 因为向量a-3(b+a),b-a的坐标分别为-16,2, 所以解得 所以|a-3b|=10. 3.已知a,b,c是直线l上的向量,向量4a-3b,3a+c的坐标分别为1,-3,且|a+c|=1,求a,b,c的坐标. 解:设a,b,c的坐标分别是x,y,z. 因为向量4a-3b,3a+c的坐标分别为1,-3, 且|a+c|=1,所以 解得或 所以a,b,c的坐标分别是-2,-3,3或-1,-,0. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.已知数轴上两点A,B的坐标分别是0,-1,则的坐标是(　　) A.-1 B.1 C.2 D.-2 解析:的坐标为-1-0=-1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知数轴上两点A,B的坐标分别为-5,4,则A与B的距离为 (　　) A.1 B.-1 C.9 D.-9 解析:AB=||=|4-(-5)|=9. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.(多选)已知数轴上的点A,B,C的坐标分别为-1,1,5,则下列结论正确的是 (　　) A.的坐标是2 B.=-3 C.的坐标是4 D.=2 解析:=2,=-4,=-6,=4.故A、B、D正确. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.已知数轴上两点M,N,且||=4.若xM=-3,则xN等于(　　) A.1 B.2 C.-7 D.1或-7 解析:∵||=|xN-(-3)|=4,∴xN-(-3)=±4,即xN=1或-7. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.已知直线上向量a,b的坐标分别为-1,3,则下列向量与a同向的是 (　　) A.a+b B.a-b C.a+2b D.3b 解析:由题意,a+b的坐标为2,a+2b的坐标为5,3b的坐标为9,都与a反向, a-b的坐标为-4,与a同向. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.(多选)已知数轴上点A和点B的坐标分别为-1和3,若P是数轴上一点,且||+||=6,则点P的坐标为(　　) A.-3 B.5 C.-2 D.4 解析:∵||=|3-(-1)|=4,||+||=6,∴点P不在点A和点B之间.设点P的坐标为xP,当点P在点A的左边时,-1-xP+3-xP=6,得xP=-2;当点P在点B的右边时,xP-3+xP-(-1)=6,得xP=4.综上所述,点P的坐标为-2或4. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.在数轴x上,已知=-3e(e为x轴上的单位向量),且点B的坐标为3,则向量的坐标为　　　.  解析:由=-3e,得点A的坐标为-3,则的坐标为3-(-3)=6. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.若e是直线l上的一个单位向量,向量a=2e,b=-2e是这条直线上的向量,则|a|+|b|=　　　　.  解析:因为a=2e,b=-2e, 所以|a|+|b|=2+2=4. 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.已知A,B,C三点在数轴上,且点B的坐标为3,||=5,||=2,则点C的坐标为　　 　　.  解析:由题意,设A,C的坐标分别为xA,xC,则||=3-xA=5或||=xA-3=5,∴xA=-2或xA=8. ∴||=xC-xA=xC-(-2)=2,或||=xC-xA=xC-8=2,或||=xA-xC= -2-xC=2,或||=xA-xC=8-xC=2,解得xC=0或xC=10或xC=-4或xC=6. -4或0或6或10 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.已知a,b是直线l上的两个向量,4a+3b=-a,且向量b的坐标是6,则向量a-b的坐标是　　　　.  解析:因为4a+3b=-a,又向量b的坐标是6,所以a=-b.所以a的坐标为-.所以a-b的坐标为×-×6=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.已知M,P,N三点在数轴上,且点P的坐标是5,的坐标为2, 的坐标为8,则点N的坐标为　　　　.  解析:设点M,N的坐标分别为x1,x2,∵点P的坐标是5,的坐标为2, 的坐标为8, ∴解得故点N的坐标为11. 11 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(12分)已知数轴上点A,B,C的坐标分别为4,-6,x,线段AB的中点为D. (1)求向量的坐标及A与B的距离; 解:由A,B的坐标分别为4,-6,得的坐标为-6-4=-10,A与B的距离为AB=||=10. (2)求点D的坐标; 解:由A,B的坐标分别为4,-6,且D为AB的中点,得点D的坐标为=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)若||=8,求x的值. 解:当点C在点A的左侧时,4-x=8,x=-4; 当点C在点A的右侧时,x-4=8,x=12. 故x的值为-4或12. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(13分)已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d. (1)若的坐标为5,求c的值; 解:∵的坐标为5, ∴c-(-4)=5,解得c=1. (2)若||=6,求d的值; 解:∵||=6, ∴|d-(-2)|=6,即d+2=6或d+2=-6,解得d=4或d=-8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)若=-3,求证:3=-4. 解:证明:∵的坐标为c+4,的坐标为d+4,又=-3, ∴c+4=-3(d+4),即c=-3d-16. ∵3的坐标为3(d-c)=3d-3c=3d-3(-3d-16)=12d+48, -4的坐标为-4c-16=-4(-3d-16)-16=12d+48, ∴3=-4. $$