4.5 增长速度的比较 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

4.5 增长速度的比较 新授课 1. 理解函数平均变化率的概念，并会求函数在指定区间上的平均变化率； 2. 能通过平均变化率比较指数函数、一次函数及对数函数增长速度的差异. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 情境与问题：一家世界 500 强公司曾经出过类似这样的一道面试题： 有一套房子价格为 200 万元，假设房价每年上涨 10%，某人每年固定攒下 40 万元. 如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？ （A）5年 （B）7年 （C）8年 （D）9年 （E）永远也买不起 新课讲授 学习目标 课堂总结 3 知识点 1：平均变化率 函数的平均变化率 定义：函数 y = f (x) 在区间 [x1，x2] (x1 < x2时)，或 [x2，x1] (x1 > x2时) 上的平均变化率为 实质：平均变化率实际上是函数值的改变量与自变量的改变量之比； 理解：若自变量每增加 1 个单位，函数值平均将增加 个单位； 应用：可用平均变化率来比较函数值变化的快慢. 概念生成 新课讲授 学习目标 课堂总结 依题意可得两函数平均变化率为： 问题 1：分别计算函数 g (x) = 2x + 3，h (x) = 3x – 2 的平均变化率，并比较两函数值的变化情况. 由此可知，自变量每增加 1 个单位， g (x) 将增加 2 个单位，而 h (x) 将增加 3 个单位，即 g (x) 的函数值增长速度小于 h (x). 因此，当 ∆x 足够大时，必将有 h (x0 + ∆x) > g (x0 + ∆x). 新课讲授 学习目标 课堂总结 典例剖析 例 1：已知 f (x) = x2 – 2x – 1，分别计算函数在区间 [1，2] 与 [2，3] 上的平均变化率，并说明，当自变量每增加 1 个单位时，函数值变化的规律. 解：因为 ， 所以：f (x) = x2 – 2x – 1 在区间 [1，2] 上的平均变化率为 (1 + 2) – 2 = 1； f (x) = x2 – 2x – 1 在区间 [2，3] 上的平均变化率为 (2 + 3) – 2 = 3； 由此可知，在 [1，+∞) 内，自变量每增加 1 个单位，区间长不变的条件下，端点数值之和越大，f (x) 函数值增加越快. 新课讲授 学习目标 课堂总结 y O x 1 1 A B C 如图所示，画出函数 f (x) = x2 – 2x – 1 的图像， 由图可知，点 A、B、C 的横坐标分别为 1、2、3， 所以直线 AB 的斜率即是函数 f (x) 在区间 [1，2] 上的平均变化率，直线 BC 的斜率即是函数 f (x) 在区间 [2，3] 上的平均变化率； 而且 kAB 小于 kBC，故函数 f (x) 在 BC 段的函数值增加的比在 AB 段更快. 新课讲授 学习目标 课堂总结 7 练一练 1. 已知函数 y = 2x，分别计算这两个函数在区间 [1，2] 与 [2，3] 上的平均变化率，并说明，当自变量每增加 1 个单位时，函数值变化的规律. 解：因为 ， 所以 y = 2x 在区间 [1，2] 平均变化率为 2， y = 2x 在区间 [2，3] 平均变化率为 4， 当自变量每增加 1 个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2. 已知 y = x2 + 1 在 [1，1 + Δx] 上的平均变化率是 ( ) A．2 B．2x C．2 + Δx D．2 + (Δx)2 练一练 C 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知函数 f (x) = 2x，g (x) = x，h (x) = log2 x，分别计算这三个函数在区间 [a，a + 1] (a > 1) 上的平均变化率，并比较它们的大小. 知识点 2：三种函数增长速度比较 解：因为 ， ， ， 又因为 a > 1，有 2a > 21 = 2 > 1， 因此在区间 [a，a + 1] 上，f (x) 的平均变化率