4.5 增长速度的比较-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4．5　增长速度的比较 课程标准 素养解读 1.利用函数图像及数据表格 2.对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性 3.了解函数模型的广泛应用 通过函数模型的应用提升数学建模和逻辑推理素养 [情境引入] 函数＝2x与y＝2x有几个交点，x在什么范围下，2x>2x会恒成立？ 提示：(1)y＝ax(a>1)与y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)都单调递增． (2)它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝kx的增长速度． 因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx. [知识梳理] [知识点]　三种常见函数模型的增长差异　 y＝kx(k>0) y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) 在(0，＋∞)上的增减性 　增函数　 　增函数　 　增函数　 图像的变化趋势 一条直线 随x增大逐渐近似与　y轴　平行 随x增大逐渐近似与　x轴　平行 增长速度 (1)y＝ax(a>1)随着x的增大，y增长速度　越来越快　，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过　y＝kx(k>0)　的增长速度 (2)y＝logax(a>1)随着x的增大，y增长速度　越来越慢　，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有　logax<kx　 1.我们常说指数增长、指数爆炸，对于指数型函数模型，还有没有别的变化方式？ 提示：有，还有指数衰减． 2．我们知道当底数大于1时，对数函数的增长速度越来越慢，那么当底数小于1时，对数函数的变化有何特点？ 提示：当底数小于1时，对数函数的递减速度越来越慢． 3．存在一个x0，当x>x0时，为什么ax>xn>logax(a>1，n>0)一定成立？ 提示：当a>1，n>0时，由y＝ax，y＝xn，y＝logax的增长速度，存在x0，当x>x0时，三个函数的图像由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有ax>xn>logax. [预习自测] 1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex　　　　　 B．y＝ln x C．y＝2x D．y＝e－x 答案：A 2．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用(　　) A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 答案：D 3．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为　________　. 解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)>g(x)． 答案：f(x)>g(x) 　　　几类函数模型增长差异的比较 [例1] 已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 1 4 16 36 64 … y3 0 1 2 2.585 3 … 则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　) A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2 [思路点拨]　根据自变量与函数值的关系选择不同的函数模型． [解析]　B　[从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化．] 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型 幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [变式训练] 1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　) A．y＝ex　　　　　 B．y＝100 ln x C．y＝100 x D．y＝100·2x 解析：A　[指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快．] 　　　几类函数模型的比较的应用 [例2] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指示出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)结合函数图像示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大小． [思路点拨]　根据图像的增减趋势选择函数模型． [解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2 019>x2， 从图像上可以看出当x1<x<x2时，f(x)<g(x)， 所以f(6)<g(6)； 当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 019)>g(2 019)； 又因为g(2 019)>g(6)， 所以f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6)． 不同函数的变化规律 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． [变式训练] 2．如图是四个不同形状，但高度均为H的玻璃瓶．已知向其中一个水瓶注水时，注水量与水深的函数关系如下图所示，试确定水瓶的形状是图中的(　　) 解析：B　[显然图像从左向右，图像上升先快后慢，也就是说，向瓶中注入相同的水量(如单位体积)时，水的高度改变得越来越大．所以，如果向瓶中匀速注水，则水的高度上升速度先慢后快，注入相同的水，高度上升得快，说明瓶的这部分较细，同样如果水的高度上升得慢，说明瓶的这部分较粗，从图像上看，水的高度上升得越来越快，所以瓶子是下面较粗，越向上越细，所以水瓶的形状应是图B.] 　　　函数模型的选择问题 [例3] 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ [思路点拨]　分别验证函数的模拟效果． [解]　根据题意可列方程组 解得 所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.① 同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.② 再将x＝4分别代入①式与②式得 f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)． 与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好． 建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论． (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题． [变式训练] 3．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息、和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？ 解：A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为100(1＋)2≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100(1＋)≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，应购买B种债券． 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A．y＝6x　　　　　 B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x 解析：B　[D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．] 2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据 x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝ax2＋b D．y＝a＋ 解析：B　[在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.] 3．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是　________　. 解析：当x变大时，x比ln x增长要快， ∴x2要比xln x增长的要快， 答案：y＝x2 4．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A对应　________　；B对应　________　；C对应　________　；D对应　________　. 解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快一慢一快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与(3)对应，D容器水高度变化慢，与(2)对应． 答案：(4)　(1)　(3)　(2) 5．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图像，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系． 解：函数f(x)与g(x)的图像如图所示． 根据图像易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)； 当x＝4时，f(x)＝g(x)； 当x>4时，f(x)<g(x). 学科网（北京）股份有限公司 $$