4.3 指数函数与对数函数的关系课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

4.3 指数函数与对数函数的关系 新授课 1. 理解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，掌握它们的图像间的对称关系； 2. 利用指数、对数函数的图像及性质解决一些简单问题． 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 回顾：指数函数与对数函数的联系. 例如，当 a > 0 且 a ≠ 1 时，有 y = ax ⇔ x = loga y . 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 1：结合指数函数与对数函数的性质，完成下表： 知识点 1：反函数的定义 函数 指数函数 y = ax 对数函数 y = logax 定义域 值域 单调性 0 < a < 1 时，为________；a > 1 时，为________. (0，+ ∞) R (0，+ ∞) R 减函数 增函数 思考：观察上表中指数函数与对数函数的性质，说说有什么发现？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 指数函数与对数函数的性质之间的联系 函数 指数函数 y = ax 对数函数 y = logax 定义域 R (0，+ ∞) 值域 (0，+ ∞) R 单调性 0 < a < 1 时，为减函数；a > 1 时，为增函数. 归纳总结 由上可知，指数函数 y = ax 与对数函数 y = logax 中： （1）一个函数的定义域是另一个函数的值域；（2）单调性相同； （3）通过对调其中一个函数的自变量和因变量，可得到另一个函数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 反函数 一般地，如果在函数 y = f (x) 中，给定值域中任意一个 y 的值，只有唯一的 x 与之对应，那么 x 是 y 的函数，这个函数称为 y = f (x) 的反函数，此时，称 y = f (x) 存在反函数. 如果函数的自变量仍用 x 表示，因变量仍用 y 表示，则函数 y = f (x)的反函数的表达式，可以通过对调 y = f (x) 中的 x 与 y，然后从 x = f (y)中求出 y 得到. 例如：y = 2x是增函数，因此任意给定一个 y 值，只有唯一的 x 与之对应，所以y = 2x存在反函数；对调y = 2x中的 x 和 y 得x = 2y，解得y = log2x. 因此 y = log2 x 是 y = 2x 的反函数. 概念生成 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：如图是同一直角坐标系内函数 y = 2x 与它的反函数 y = log2 x 的图像，仔细观察图像，说说你有什么发现？ 函数 y = 2x 与它的反函数 y = log2 x 的图像关于直线 y = x 对称. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 一般地，函数 y = f (x) 的反函数记作 y = f -1(x)，由此可得，反函数的性质如下： （1）y = f (x) 的定义域与 y = f -1(x) 的值域相同； （2）y = f (x) 的值域与 y = f -1(x) 的定义域相同； （3）y = f (x) 与 y = f -1(x) 的图像关于直线 y = x 对称. 新课讲授 学习目标 课堂总结 函数 y = log3 x 的定义域为 (0，+∞)，则其反函数的值域是 (　　) A．(0，+∞) B．R C．(－∞，0) D．(0，1) 练一练 A 新课讲授 学习目标 课堂总结 若函数 y = f (x) 的反函数图像过点 (1，5)，则函数 y = f (x) 的图像必过点 (　　) A．(1，1) B．(1，5) C．(5，1) D．(5，5) 练一练 C 新课讲授 学习目标 课堂总结 典例剖析 例 1：分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，请说明理由；如果存在，写出反函数. （1） ；（2） . x 1 2 3 4 5 f (x) 0 0 1 3 5 x 1 2 3 4 5 g (x) -1 0 1 -2 5 解：（1）因为 f (x) = 0 时，x = 1或x = 2，即对应的 x 不唯一，因此 f (x) 的反函数不存在； （2）因为对 g(x) 的值域{-1，0，1，-2，5}中任意一个值，都只有唯一的 x与之对应，因此 g(x) 的反函数 g -1(x) 存在，而且反函数可以表示如下. x -2 -1 0 1 5 g -