黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位）的虚部为3，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 2. 已知全集,则（ ） A. B. C. D. 3. 已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 4. 美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆（如图所示），若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1∶2，在上且为靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的上，下焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴右侧交双曲线于点，则（ ） A B. C. D. 7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（ ） A B. C. D. 8. 正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分． 9. 直线，圆，下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆必有两个交点 C. 直线与圆的相交弦长的最大值为 D. 当时，圆上存在3个点到直线距离等于1 10. 设是空间中两两夹角均为的三条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，若，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标，则下列结论正确的是（ ） A. 若向量，向量，则 B 若向量，向量，则 C. 若向量，向量，则当且仅当时， D. 若向量，向量，向量，则二面角的余弦值为 11. 经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 面积的最小值为8 C. 以焦半径为直径的圆与直线相切 D. 12. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息解决下面的问题:在长方体中,,点在棱上,,动点满足为棱的中点,为的中点.以为原点,所在的直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.下列说法正确的是（ ） 阿波罗尼奥斯 A. 若点只在平面内运动,则点所形成的阿氏圆的半径为 B. 若点只在平面内运动,则△的面积最小值为 C. 类比阿氏圆定义,点在长方体内部运动时,的轨迹为球面的一部分 D. 若点在平面内运动,则点到平面的距离最小值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡相应题的横线上 13. 已知直线与直线平行，则实数_______． 14. 若空间三点，则点到直线的距离为_______． 15. 线段是圆一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围_______． 16. 已知是双曲线的左，右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为3，为的第一象限上的一点，点的坐标为为的平分线，则_______． 四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 17. 已知 （1）过点A作直线，交直线和直线于两点，A为线段的中点．求直线的方程； （2）若圆的圆心在直线上，圆经过点．求圆的方程． 18. 在中，角的对边分别为. （1）求角的大小； （2）若，求周长最大值． 19. 《中华人民共和国爱国主义教育法》已由中华人民共和国第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议于2023年10月24日通过，现予公布，自2024年1月1日起施行．甲，乙两同学组成“星队”参加黑龙江省“爱国主义教育法”知识竞赛．现有A，B两类问题，竞赛规则如下： ①竞赛开始时，每个同学先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束． ②若在本轮竞赛中“