1.1.1直线的倾斜角和斜率 课件-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第一章　 § 1.1 直线的倾斜角与斜率 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念； 2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性； 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率. 学习目标 2 1.直线的方向向量 设A，B是直线上的两点，则____就是这条直线的方向向量. 2.直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按 方向旋转到与直线重合时，所转过的最小 α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为_____________. 逆时针 正角 0°≤α<180° 3 例1　已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为___________. 解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 60°或120° 类型一　直线的倾斜角 3.直线的斜率 (1)过两点的直线的斜率公式： 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝________. (2)把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝ (α≠90°). tan α 5 直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 常用 结论 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀： 1.“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”. 6 类型二　直线的斜率 例2 直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解 设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率. 由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等， 所以k1 ＝ ＝ ， k2 ＝ ＝－4 ，k3＝ ＝0. 由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角； 由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角； 由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°. 反思与感悟 应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解. 类型三　斜率与倾斜角的综合应用 例3 已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2 , 5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值； 解 ∵α＝45°， ∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1， ∵P1，P2，P3都在直线l上， ∴k ＝k ＝k， ∴ ＝ ＝1 ， 解得x2＝7，y1＝0. 9 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(　　) (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　) × × 思维升华 1. 若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为 A.1　　 B.4 C.1或3　　 D.1或4 √ 当堂训练： 2. 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围. 解 如图所示： 当点D由B运动到C时， 直线AD的斜率由kAB增大到kAC， 所以直线AD的斜率的变化范围是 . (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在 直线的斜率分别为___，_____. －3 如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系.设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°， 反思与感悟 (1)用斜率公式可解决三点共线问题 (2)斜率与倾斜角的关系如图：   直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论. 由题意得＝1，解得m＝1. 故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝， kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3. $$