8.2.4 三角恒等变换的应用 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8.2 三角恒等变换 8.2.4 三角恒等变换的应用 新授课 1. 能用倍角公式导出半角公式，掌握三角恒等变换的基本方法； 2. 能利用三角恒等变换对三角函数式求值以及三角恒等式的证明. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1 ：半角公式 回顾：按照相应规律，结合“倍”角的概念，说说 α 与 有什么关系？ α 是 的二倍 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 1：试以 cos α 表示 sin2，cos2，tan2 . 解：α 是 的二倍角，在倍角公式 cos 2α = 1 − 2sin2α 中， 以 α 代替 2α，以 代替 α 得：cos α = 1 − 2sin2 ，所以 sin2 = ①； 同理：根据倍角公式 cos 2α = 2cos2α − 1得：cos2 = ②； 将①②两个等式的左右两边分别相除得：tan2 = . 思考：若 cos α = ，你能求出 sin ，cos ，tan 的值吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 已知：sin2 = ，cos2 = ，tan2 = ； 问题 2：已知 cos α = ，求出 sin ，cos ，tan 的值. 由上式可得：sin =±，cos =±，tan =± ； 将 cos α = 分别带入即可求出 sin ，cos ，tan 的值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 总结归纳 半角公式 下列公式称为半角公式，符号由角 的象限决定. sin = ±，cos =±，tan =± 思考：若 = β，你能表示出 sin β ，cos β ，tan β 的半角公式吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 降幂与升幂公式 sin2β = ，cos2β = ，tan2β = 降幂公式 半角公式： cos 2β = cos2β – sin2β = 2cos2β – 1 = 1 – 2sin2β； tan 2β = ； 升幂公式 倍角公式： 总结归纳 新课讲授 学习目标 课堂总结 典例剖析 例 1：求证： （1） = tan ； （2） = tan . 解：（1） = = = tan ； （2） = = = tan . 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 3：求证： （1）sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)]； （2）sin θ + sin φ = 2 sin · cos . 知识点 2 ：积化和差与和差化积公式 证明：（1）因为 sin (α + β) = sin α·cos β + cos α·sin β， sin (α – β) = sin α·cos β – cos α·sin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin (α + β) + sin (α – β) = 2sin α·cos β ①， 即 sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)]，故（1）得证； 新课讲授 学习目标 课堂总结 求证：（2）sin θ + sin φ = 2 sin · cos . 证明：（2）由（1）可得：sin (α + β) + sin (α – β) = 2sin α·cos β ① ， 设：α = ，β = ，把 α、β 带入 ① 中， 即得：sin θ + sin φ = 2 sin · cos ，故（2）得证； 思考：上面（1）（2）两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 4：参照例题，证明下列式子. （1）cos α·cos β = [cos(α+β)+cos(α–β)]； （2）cos θ+cos φ = 2coscos . 思考：结合上述证明，你还能发现其他类似的式子吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 总结归纳 积化和差与和差化积公式 （1）sin α·cos β = [sin(α + β) + sin(α – β)]； （2）cos α·sin β = [sin(α + β) – sin(α – β)]； （3）cos α·cos β = [cos(α + β) + cos(α – β)]； （4）sin α·sin β = – [cos(α + β) – cos(α – β)]. 积化和差 （1）sin θ + sin φ = 2sin cos；  （2）sin θ – sin φ = 2cos sin； （3）cos θ + cos φ = 2cos cos； （4）cos θ – cos φ = –2sin sin.  和差化