8.2.3 倍角公式课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8.2 三角恒等变换 8.2.3 倍角公式 新授课 1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程； 2. 能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值等问题． 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点：二倍角的正弦、余弦、正切公式 忆一忆：按照相应规律，说出所有的和（差）角公式! sin⁡ (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ sin⁡ (α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ cos⁡ (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ cos⁡ (α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ tan⁡ (α + β) = tan⁡ (α – β) = 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 1 ：以六个和（差）公式为基础，请利用 S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，推导出 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的公式. 通过观察和（差）公式可知，当 α = β 时，有下列结论： ① sin 2α = sin (α + α) = sin α·cos α + cos α·sin α = 2sin α·cos α； ② cos 2α = cos (α + α) = cos α·cos α − sin α·sinα = cos2α − sin2α； ③ tan 2α = tan⁡ (α + α) = = . 思考：结合 sin2α + cos2α = 1，说说上述公式，还有其他表示方法吗？ cos 2α = cos2α − sin2α cos 2α = 1 − 2sin2α = 2cos2α − 1. 新课讲授 学习目标 课堂总结 总结归纳 倍角公式 注意： （1）上述倍角公式给出了 α 的三角函数与 2α 的三角函数之间的关系； （2）这里的“倍角”专指“二倍角”，若遇“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去. S2α ：sin 2α = 2sin α·cos α； C2α：cos 2α = cos2α − sin2α = 1 − 2sin2α = 2cos2α − 1； T2α：tan 2α = . 新课讲授 学习目标 课堂总结 典例剖析 例 1：已知 sin α = ，α∈(，π)，求sin⁡ 2α，cos 2α，tan 2α 的值． 解：由 2α 是 α 的二倍角且已知 sin α 的值，故直接使用二倍角公式即可； 因为 α∈(，π) 得：π < 2α < 2π；又 sin α = ，故 cos α = − ； 所以 sin⁡ 2α = 2sin α·cos α = 2××(− ) = − ； cos⁡ 2α = 1 − 2sin2α = 1 − 2×()2 = ； tan 2α = = − . 新课讲授 学习目标 课堂总结 注意：“倍”是两个数量间一种相对的关系，如 2α 是 α 的二倍，4α 又是 2α 的二倍， 是 的二倍；应准确理解“倍”的含义，灵活运用倍角公式. 思考：倍角公式中的“倍角”仅是指 α 与 2α 吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：证明下列恒等式. （1） = tan θ； （2） = . 证明：（1）左边= = = tan θ =右边； （2）左边= = = = = 右边. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3：求函数 y = 2cos2x + sin 2x – 1 的周期和最大值. 解：因为 y = 2cos2x – 1 + sin 2x = sin 2x + cos 2x = (sin 2x + cos 2x) = sin(2x + )， 因此所求函数的周期为 π，最大值为 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 4：已知函数 f (x) = 4sin xcos x – 4cos2x + 2，x∈[0，]，求 f (x) 的值域. 解：因为 f (x) = 4sin xcos x – 4cos2x + 2 = 2sin 2x – 2(2cos2x – 1) = 2sin 2x – 2cos 2x = 4(sin 2x – cos 2x) = 4sin(2x – )， 又因为 0 ≤ x ≤ ，所以 – ≤ 2x – ≤ π， 从而 sin(– ) ≤ sin(2x – ) ≤ sin()，因此 – 2