8.1.2向量的数量积的运算律 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8.1 向量的数量积 8.1.2 向量的数量积的运算律 新授课 1. 掌握向量数量积的运算律； 2. 能利用向量数量积的运算律解决有关问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点：向量数量积的运算律 问题 1：实数乘法有哪些运算律？结合向量的线性运算的运算律，猜想向量数量积的运算律，并给出证明. ① ③ ② 实数乘法 猜想 ① ③ ② 向量数量积 新课讲授 学习目标 课堂总结 向量数量积的运算律的猜想、证明： 猜想 ①：当 ， 是两个非零向量时，因为<，> = <，>，所以根据 · = || || cos <，>， · = || || cos <，> 可知： 即向量数量积满足交换律，猜想 ① 成立！ · = · 新课讲授 学习目标 课堂总结 m n 猜想 ②： 但 与 不一定是共线的，故猜想 ② 不成立！ 思考：三个向量不满足结合律，那么两个向量和一个实数相乘是否满足结合律呢？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 （1）当，中至少有一个是零向量或λ = 0时： (λ)· = λ(·) ； 两个向量和一个实数相乘： 猜想 (λ)· = λ(·) 综上所述，猜想成立，即两个向量和一个实数相乘满足结合律. （2）若 λ > 0：则|λ| = λ||，且 λ 的方向与 的方向相同，从而 <，> = <，>， 因此 (λ)· = |λ|·|| cos <，> = λ||·|| cos <，> = λ(·)； （3）若 λ < 0：则|λ| = – λ||，且 λ 的方向与 的方向相反，从而 <，> = π – <，>， 因此 (λ)· = |λ|·|| cos <，> = – λ||·|| cos(π – <，>) = λ(·). 新课讲授 学习目标 课堂总结 猜想 ③： （1）当 ，， 中至少有一个是零向量时： 成立； （2）当 ，， 均不为零向量时： 此时，|| ≠ 0，设 = ，即 是与 同向的单位向量； 如图所示，设点O与都在直线 l 上，且 = ， = ， 则 = + = + . 过 A，B 分别作直线 l 的垂线AA'，BB'， 新课讲授 学习目标 课堂总结 由向量投影的定义可知， 在 上的投影为， 在 上的投影为， + 在 上的投影为； 又因为 = + ， 所以根据向量数量积的几何意义可知 ( + )· = · + ·， 式子两边同时乘以 ||，即可知 ( + )· = · + ·，即向量数量积对加法满足分配律； 同理可证： · ( + ) = · + ·，( – )· = · – ·. b a A B O A´ a + b B´ c0 l 新课讲授 学习目标 课堂总结 对于向量 ，， 和实数 λ，有： 归纳总结 向量数量积的运算律 （1） · = · ； （2）(λ)· = λ(·)； （3）( ± )· = · ± ·. 新课讲授 学习目标 课堂总结 典例剖析 例 1：求证： （1）； （2）(. 解：（1）()2 = () () = = . （2）( = ； 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：（1）已知 || = 2，|| = 1，<，> = 60°，求 |+ 2|； （2）已知 |+ | = |– |，求 . 解：（1）由题意可知 2 = 4，2 = 1，· = 2×1×cos 60°= 1， 所以 |+ 2|2 = (+ 2)2 = 2 + 4· + 42 = 4 + 4×1 + 4×1 = 12， 因此 |+ 2| = = 2； （2）由题意可知 |+ |2 = |– |2，即 (+ )2 = (– )2， 因此 2 + 2 + 2 = 2 – 2 + 2，即 = 0. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3：利用向量证明菱形的两条对角线互相垂直. 如图所示，已知 ABCD 是菱形，AC 与 BD 是两条对角线. 求证：AC⊥BD. A B C D 证明：由已知可得 = + ， = – ， 所以 · = ( + )·( – ) = ||2 – ||2 又因为ABCD是菱形，所以 AB = AD， 即 || = ||，因此 ·= 0， 从而 ⊥，故 AC⊥BD. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 4：利用向量证明三角形的三条高相交于一点. 如图所示，已知 △ABC 中，