第8章 向量的数量积与三角恒等变换 章末复习课 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

章末复习课 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 知识网络 内容索引 一、向量数量积的运算 二、向量数量积的应用 四、三角函数式的化简与证明 三、三角函数式求值 五、三角恒等变换的应用 向量数量积的运算 一 1.求平面向量的数量积主要有三种方法：一是利用定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；二是利用向量数量积的几何意义：a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|，即a·b为a在b上的投影的数量与b的模的乘积；三是利用数量积的坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 2.掌握向量数量积的概念以及求向量数量积的基本方法，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 求数量积的两种常用方法：一是找基底，用基底表示已知和未知向量.从而转化成基底之间的运算；二是建系进行坐标运算. 反思感悟 7 8 由题意，得E为AC的中点，F为AB的中点，D为BC的四等分点，以点A为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(0,0)，B(2,0)，C(0,4)， 9 二 向量数量积的应用 1.主要考查利用向量的数量积求向量的模、夹角，以及向量的数量积与向量垂直的关系，熟记公式，掌握向量运算，以及向量坐标运算. 2.掌握向量的求模、求夹角公式以及向量垂直的数量积表示，提升逻辑推理和数学运算素养. 例2　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝ |a－kb|(k>0). (1)用k表示数量积a·b； 12 得(ka＋b)2＝3(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2， ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0， 13 (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 14 向量数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， (1)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题 ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) 反思感悟 15 跟踪训练2　已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是 A.锐角 　　　　B.钝角 　　　　C.直角 　　　　D.不确定 √ 16 因为△ABC是锐角三角形， 所以p·q＝sin A－cos B>0， 又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角. 17 三 三角函数式求值 1.三角函数式求值主要有三种类型：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角.注意观察已知角与所求角之间的关系，根据需要灵活地进行拆角和凑角的变换. 2.掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式并会灵活运用，提升逻辑推理与数学运算素养. 例3　已知角α的顶点在坐标原点O处，始边与x轴的正半轴重合，将角α 的终边绕O点逆时针旋转 后经过点(－3,4)，则sin α＝________. 20 21 反思感悟 22 √ 23 24 ∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) 25 三角函数式的化简与证明 四 1.三角函数式的化简与证明是常考内容，重点考查三角公式的正用、逆用以及变形用等等，要熟记公式以及公式的变形形式. 2.掌握三角函数公式以及变形形式并会灵活运用，提升逻辑推理素养. 29 三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路 (1)观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系起来. (2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来. (3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一. 反思感悟 30 31 原式得证. 32 三角恒等变换的应用 五 1.利用三角恒等变换研究函数的性质是重点考查题型，关键在于熟练运用三角公式，对解析式变形.常用倍角的降幂公式，辅助角公式以及积化和差与和差化积公式进行化简. 2.掌握利用三角公式及变形形式对函数式化简，重点提升逻辑推理与数学运算素养. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域； 36 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角恒等变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. (2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、倍角公式、半角公式、和差化积与积化和差公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质. 反思感悟 37 (1)求f(x)的周期； 38 39 ＝－2－·＝－3， 所以·＝. 例1　如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，则·＝______. 因为· ＝· 跟踪训练1　已知在△ABC中，A＝，AB＝2，AC＝4，＝，＝，＝，则·的值为________. － ∴F(1,0)，E(0,2)，D， ∴＝，＝. ∴·＝×＋1×(－1)＝－1＝－. 由|ka＋b|＝|a－kb|， ∵|a|＝＝1， |b|＝＝1， ∴a·b＝＝. 由(1)知a·b＝＝. 由函数的单调性可知，f(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， ∴当k＝1时，(a·b)min＝f(1)＝×(1＋1)＝， 此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝， ①|a|＝； cos θ＝＝. 所以A＋B>，即＞A＞－B＞0， 又因为函数y＝sin x在上单调递增， 所以sin A>sin＝cos B， 设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝＞0， ＝×－×＝. ∵角α的终边绕O点逆时针旋转后得到的角为α＋， ∴cos＝＝－， sin＝＝， ∴sin α＝sin＝sincos －cossin  求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等. 跟踪训练3　若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是 A. B. C.或 D.或 ∴cos(β－α)＝－＝－， ∵α∈，∴2α∈， 又∵sin 2α＝，∴2α∈，α∈， ∴cos 2α＝－＝－. 又∵β∈，∴β－α∈， ＝－×－×＝， 易得α＋β∈，则α＋β＝. 例4　化简：(－π<α<0). 原式＝ ＝＝＝. 因为－π<α<0，所以－<<0，所以sin <0， 所以原式＝＝cos α. 跟踪训练4　求证：tan2x＋＝. ＝＝＝右边. 左边＝＋＝ ＝＝＝ ＝＝ 例5　已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.  f(x)＝cos2－sin cos － ＝(1＋cos x)－sin x－＝cos. 所以f(x)的最小正周期为2π，值域为. ＝1－2cos2＝1－＝. 由(1)知f(α)＝cos＝， (2)若f(α)＝，求sin 2α的值. 所以cos＝. 所以sin 2α＝－cos＝－cos 2 跟踪训练5　已知函数f(x)＝sin·cos. 由积化和差公式可知f(x)＝ ＝sin＋sin ＝sin－，∴T＝＝. (2)若x∈，求f(x)的值域. ∵x∈，∴4x－∈， ∴sin∈，∴f(x)∈， ∴f(x)的值域为. $$