7.3.5 已知三角函数值求角课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7.3 三角函数的性质与图像 7.3.5 已知三角函数值求角 新授课 1. 掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号 arcsin x，arccos x，arctan x 表示角； 2. 熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[– 2π，2π]上对应的角. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 问题 1：若已知 sin x = ，试求出满足条件的角 x ？ 知识点 1 ：利用三角函数线求角 O P1 1 N P M 由 sin x = > 0 可知，角 x 对应的正弦线方向朝上， 且长度为 . 做出如图示意图，由图可知角 x 的终边可能是 OP， 也可能是 OP1； 又因为 sin = sin = ，所以 x = + 2kπ 或 x = + 2kπ，k∈Z. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：若已知 sin x ≥ ，试求出角 x 的取值范围？ O P1 1 N P M 由图可知，若 x 的终边在∠POP1中，则一定有 sin x ≥ ， 因此 x 的取值范围是 + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ，k∈Z. 思考：若不借助三角函数线，你还有其它的方法解答上述问题吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 方法二：借助正弦函数的图像 由图可知，sin x = ，x = + 2kπ 或 x = + 2kπ，k∈Z. sin x ≥ 中 x 的取值范围是 + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ，k∈Z. x y o – 2 –2  y = sin x 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：已知 cos (2x + ) = – ，求 x . 典例剖析 解：由cos (2x+) = – < 0可知，角2x + 对应的余弦线方向朝左，且长度为； 做示意图，由图可知角2x + 的终边可能是OP，也可能是OP1； 又因为 cos = cos = – ， 所以 2x + = + 2kπ 或 2x + = + 2kπ，k∈Z； 即 x = + kπ 或 x = + kπ，k∈Z. O P1 –1 M P 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 已知不等式 cos (2x + ) < – ，求 x 的解集. 由图可知，当 cos (2x + ) < – 时， + 2kπ < 2x + < + 2kπ， 所以不等式的解集为 ( + kπ， + kπ) k∈Z. O P1 –1 M P 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：由 tan x = – 1 < 0 可知，角 x 对应的正切线的方向朝下，且长度为 1； 作如图示意图，由图可知，角 x 的终边可能是OT，也可能是OT1； 又因为 tan () = tan (π ) = – 1， 所以 x = + kπ，k∈Z. 又由3π < + kπ < 5π，k∈Z 可知 k = 4 或 k = 5， 因此 x = 或 x = ； 例 2：已知 tan x = – 1，x∈(3π，5π)，求 x. 典例剖析 O T1 1 A T 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 2. 已知不等式 tan x > – 1，求 x 的解集. 由图可知，tan x > – 1 时， + kπ < x < + kπ， 所以不等式 tan x > – 1 的解集为 ( + kπ， + kπ) k∈Z. O T1 1 A T 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2 ：反三角函数 问题 2：若已知 sin x = ，且 x∈[，]，求 x 的值. 任意给定一个 y∈[-1，1]，满足 sin x = y 的 x 在区间 [，] 内只有一个，利用计算器或计算机软件可以方便地求出这个 x 的值； 如图所示，此时要在区间 [，] 内求满足 sin x = 的 x 的值，只要输入 sin-10.5 即可. 新课讲授 学习目标 课堂总结 在数学中，任意给定一个 y∈[-1，1]，当 sin x = y 且 x∈[，] 时，通常记作 x = arcsin y (反正弦函数)； 类似地，在区间 [0，π] 内，满足 cos x = y ( y∈[-1，1] ) 的 x 只有一个，这个 x 记作 arccos y，即 x = arccos y (反余弦函数)； 在区间 [，] 内，满足 tan x = y ( y∈R ) 的 x 只有一个，这个 x 记作 arctan y，即 x = arctan y (反正切函数). 概念讲解 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3：计算下列反三角函数的值. （1）arcsin ； （2）arccos