第2章 圆锥曲线（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记•巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第2章 圆锥曲线（压轴题专练） 目录： 题型1：曲线与方程选填压轴题 题型2：轨迹问题解答压轴题 题型3：弦长问题 题型4：中点弦问题 题型5：面积问题 题型6：取值范围问题 题型7：定点问题 题型8：定值问题 题型9：向量共线问题 题型10：最值问题 题型11：新定义问题 题型1：曲线与方程选填压轴题 1．已知曲线的方程为，下列说法中正确的序号是 . ①无论取何值，曲线都关于原点中心对称； ②无论取何值，曲线关于直线和对称； ③存在唯一的实数使得曲线表示两条直线； ④当时，曲线上任意两点间距离的最大值为. 2．已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ． 3．定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（    ）. A．和均为真命题 B．和均为假命题 C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题 4．曲线：，下列两个命题： 命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128； 命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4； 下面说法正确的是（    ） A．甲是真命题，乙是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲是假命题，乙是假命题 题型2：轨迹问题解答压轴题 5．设抛物线的方程为，其中常数，F是抛物线的焦点． (1)若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值； (2)设是点关于顶点O的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值； (3)设是两条互相垂直，且均经过点F的直线，与抛物线交于点,与抛物线交于点，若点G满足，求点G的轨迹方程． 6．在平面直角坐标系中，对于直线和点、，记，若，则称点、被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点、被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线． (1)判断点是否被直线分隔并证明； (2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围； (3)动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线． 题型3：弦长问题 7．已知双曲线，斜率为1的直线过双曲线C上一点交该曲线于另一点B，且线段中点的横坐标为． (1)求双曲线C的方程； (2)已知点为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线，且直线均与圆相切．设与双曲线C的另一个交点为P，与双曲线C的另一个交点为Q，则当时，求点M的坐标． 题型4：中点弦问题 8．已知椭圆的一条弦的中点为． （1）若直线的斜率为且不过坐标原点，求直线的斜率； （2）若直线过椭圆的右焦点，且不与轴垂直，斜率不为零，试问在轴上是否存在一点，使，且以为直径的圆恰好经过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于、两点，交于、两点，且. (1)求的离心率； (2)设是与的公共点，若，求与的标准方程； (3)直线与交于、，与交于、，且在直线上按、、、顺序排列，若，求. 题型5：面积问题 10．如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且离心率为，设椭圆的右顶点为，点，是椭圆上异于，的两个动点，记直线，的斜率分别为，，且．    (1)求证：直线过定点； (2)设直线，相交于点，记，的面积分别为，，求的取值范围． 11．已知O为坐标原点，抛物线的方程为，F是抛物线的焦点，椭圆的方程为，过F的直线l与抛物线交于M，N两点，反向延长，分别与椭圆交于P，Q两点．    (1)求的值； (2)若恒成立，求椭圆的方程； (3)在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线的方程（其中，分别是和的面积）． 题型6：取值范围问题 12．已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围． 13．已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，，已知，的斜率之比为.    (1)求双曲线的方程； (2)直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由. (3)设和的面积分别为和，求的取值范围. 参考结论：点为双曲线上一点，则过点的双曲线的切线方程为. 题型7：定点问题 14．在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线． (1)