2023年 数学新中考二轮专题导练 考点13 几何探究问题

考点13 几何探究问题 考点精讲 几何探究题型是中考数学常见的题型，常以压轴题的形式出现，是数学学习中的重点也是难点。 那么遇到这种题型应该怎么去思考呢？ 先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有： 在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。 求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。 找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。 最后探索的问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。 在解数学综合题时我们要做到： 数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 真题解析 例题 1．（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系； （2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）．（2）见解析；问题拓展：． 【分析】 （1）先证明△BCE≌△ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=； （2）过点作交于点，证明，，是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可． 【详解】 问题探究 （1）．理由如下：如图（2）， ∵∠BCA=∠ECF=90°， ∴∠BCE=∠ACF， ∵BC=AC，EC=CF， △BCE≌△ACF， ∴BE=AF， ∴BF-BE=BF-AF=EF=； （2）证明：过点作交于点，则， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∴． ∴，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 问题拓展 ．理由如下： ∵∠BCA=∠ECD=90°， ∴∠BCE=∠ACD， ∵BC=kAC，EC=kCD， ∴△BCE∽△ACD， ∴∠EBC=∠FAC， 过点作交于点M，则， ∴． ∴△BCM∽△ACF， ∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k， ∴BM=kAF,MC=kCF， ∴BF-BM=MF，MF== ∴BF- kAF =． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键． 2．（2021·浙江中考真题）（证明体验） （1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分． （思考探究） （2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长． （拓展延伸） （3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】 （1）根据SAS证明，进而即可得到结论； （2）先证明，得，进而即可求解； （3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，，最后证明，即可求解． 【详解】 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （3）如图，在上取一点F，使得，连结． ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键． 3．（2021·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结． （1）如图1，若，求的长． （2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：． （3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，